Si todo ideal primo es un ideal contraído, ¿implica que el mapa inducido entre espectros es suryente?

Question

Dejemos que $f: A \rightarrow B$ sea un homomorfismo de anillo entre anillos conmutativos con identidad. Entonces existe un mapa inducido $f' : Spec(B) \rightarrow Spec(A)$ . Si $f'$ es suryente, entonces claramente todo ideal primo de $A$ es un ideal contraído. Ahora mi pregunta es, ¿es cierto lo contrario?

Answer 1

Dejemos que $P$ sea un ideal primo de $A$ y supongamos que $P=f^{-1}(I)$ donde $I$ es un ideal de $B$ . Sea $S=A-P$ un subconjunto cerrado multiplicativo de $A$ y $T=f(S)$ . Entonces $T$ es un elemento multiplicativo subconjunto cerrado de $B$ y es disjunta de $I$ . Por el lema de Zorn, existe un ideal $Q$ de $B$ máxima con respecto a las condiciones que $Q$ contiene $I$ y $Q$ es disjunta de $T$ . En un argumento estándar, $Q$ es primo. Además $f^{-1}(Q)=P$ .

Answer 2

Por atiyah-macdonald thm 3.15 Si existe un homomorfismo de A a B y p^{ec}=p, entonces p es una contracción de un ideal primo de B.

En tu pregunta p es ideal contraído, por lo que p satisface p^{ec}=p