Comprobar si el tiempo de máximo difiere entre los dos grupos

Question

Supongamos que tengo 10 medidas repetidas de una variable cuantitativa $X$ de los individuos dentro de dos grupos (llamémoslos A y B). Para cada grupo, tengo las medias estimadas de la variable $X$ en los 10 puntos de tiempo, es decir, $$\hat{\mu}_1^A, \hat{\mu}_2^A, \ldots, \hat{\mu}_{10}^A$$ y $$\hat{\mu}_1^B, \hat{\mu}_2^B, \ldots, \hat{\mu}_{10}^B,$$ y el correspondiente $10 \times 10$ matrices de varianza-covarianza de estas estimaciones.

Pruebas de $$H_0: \mu_t^A = \mu_t^B$$ (para $t = 1, \ldots, 10$ ) puede realizarse fácilmente mediante pruebas de tipo Wald (con una corrección adecuada para pruebas múltiples) con: $$z = \frac{\hat{\mu}_t^A - \hat{\mu}_t^B}{\sqrt{Var(\hat{\mu}_t^A) + Var(\hat{\mu}_t^B)}}.$$

Ahora quiero probar si el punto de tiempo del máximo dentro de cada grupo difiere entre los dos grupos. Supongo que la hipótesis nula podría escribirse como $$H_0: t = t' \; \text{for} \max({\mu}_t^A) \; \text{and} \max({\mu}_{t'}^B).$$ ¿Cuál sería la forma de comprobarlo?

EDITAR : Algún código R para simular datos con los que jugar.

library(MASS)

### number of individuals in the two groups
n1 <- 50
n2 <- 50

### assume a flat trajectory with a single peak at times 4 and 6 in the respective groups
mu1 <- rep(0,10)
mu2 <- rep(0,10)
mu1[4] <- 1
mu2[6] <- 1

### make the raw data autocorrelated with an AR1 structure
V1 <- 5 * toeplitz(ARMAacf(ar=.7, lag.max=9))
V2 <- 5 * toeplitz(ARMAacf(ar=.7, lag.max=9))

### simulate raw data
X1 <- mvrnorm(n1, mu1, V1)
X2 <- mvrnorm(n2, mu2, V2)

### observed means over time in each group
m1 <- apply(X1, 2, mean)
m2 <- apply(X2, 2, mean)

### find time of the maximum mean in each group
tmax1 <- which(m1 == max(m1))
tmax2 <- which(m2 == max(m2))

### plot means over time in each group
plot(1:10, m1,  type="o", pch=19, ylim=range(c(m1,m2)), col="red", xlab="Time", ylab="Mean")
lines(1:10, m2, type="o", pch=19, ylim=range(c(m1,m2)), col="blue")
points(tmax1, max(m1), pch=19, cex=2, col="red")
points(tmax2, max(m2), pch=19, cex=2, col="blue")

Y un ejemplo del aspecto de la trama resultante.

Answer 1

Bueno, no estoy del todo seguro de haber encontrado un responder ... pero mi idea no cabe en un comentario. Así que voy a publicar y ver lo que la gente más inteligente aquí apuntan.

Como he comentado anteriormente, yo haría un bootstrap del tiempo máximo dentro de cada grupo, pero estratificado por individuo - por remuestreo filas de X1 y X2 :

library(boot)
b1 <- boot(X1,statistic=function(X,index)which.max(apply(X[index,],2,mean)),10000)
b2 <- boot(X2,statistic=function(X,index)which.max(apply(X[index,],2,mean)),10000)

A continuación, podemos observar la distribución de las diferencias en los máximos de los bootstrap:

foo <- b1$t-b2$t
ecdf(foo)(0)
hist(foo,breaks=seq(-10.5,10.5))

Ahora bien, la ecdf a cero nos dice que el 96,89% de las diferencias son menores que cero, lo que en algunos círculos sería suficiente para afirmar $p<0.05$ y darlo por terminado ;-) Sin embargo, yo realmente no entiendo de dónde vienen los dos picos en el histograma. ¿Alguien tiene una idea?

(Pregunta divertida, de todos modos...)

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EDIT: sólo por diversión, aquí está el otro enfoque que podría tomarse razonablemente - tabular los tiempos máximos de cada individuo por grupo y realizar un $\chi^2$ prueba:

incidence <- cbind(
    table(factor(apply(X1,1,which.max),levels=1:10)),
    table(factor(apply(X2,1,which.max),levels=1:10)))
chisq.test(incidence)