Supongamos que $F:C\to D$ y $G:D\to E$ son i tal que tanto de $GF$ y $G$ tiene un adjoint derecho. ¿Es verdad que también $F$ tiene un adjoint derecho? Y ¿qué pasa si sólo $GF$ tiene un adjoint derecho?
Respuestas
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jmans
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Deje $E$ ser un terminal de la categoría. Luego de un derecho adjuntos de un functor $B\to E$ existe si, y sólo si, $B$ tiene una terminal de objeto. Así, para la fabricación de un contador de ejemplo, todo lo que necesita es encontrar dos categorías, $C,D$, y un functor $F:C\to D$, de tal manera que
- $C$ $D$ tienen un terminal con objeto de
- $F$ no tiene derecho adjuntos.
Así que, tome $C=Grp$$D= Set$, e $F:C\to D$ a ser el olvidadizo functor. Por supuesto, hay muchos otros ejemplos, que muestran que, en general, adjunctions simplemente no se comportan tan bien.
Aleksandr Levchuk
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El contraejemplo que previamente dio puede ser adaptado para esta pregunta así. Tomar $\mathcal{C}$ a ser la categoría de conjuntos finitos, $\mathcal{D}$ la categoría de todos los conjuntos y $\mathcal{E}$ a ser la categoría terminal, con $F : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ la inclusión y $G : \mathcal{D} \to \mathcal{E}$ el functor único. Entonces ambos $G$ y $G F$ tienen adjoints derecha, enviando el objeto único de $\mathcal{E}$ a un objeto terminal $1$, pero no $F$.
