¿Homomorphisms cuántos existen de $\mathbb{Z}_{n}$ $S_{n}$?

Question

¿Me gustaría saber cuántos homomorphisms de $\mathbb{Z}_{n}$ $S_{n}$?

Si $n=2$ $n$ es extraño, creo que hay $(n-1)!+1$. Estoy contando los ciclos de orden $n$, cuando es impar $n$ y agregando a ellas el trivial homomorfismo. ¿Estoy correcto? En el caso general he fallado.

Agradeceria cualquier ayuda aquí.

Answer 1

Bien podríamos preguntar a la pregunta más general: ¿cuántos homomorphisms hay de$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$S_m$? Este es precisamente el número de permutaciones de orden dividiendo $n$$S_m$, que se pueden calcular de la siguiente manera. En primer lugar, recordemos que si $G$ es un grupo finito que actúa sobre un conjunto finito $X$, entonces el ciclo de índice polinomio $Z_G$ está dado por $$Z_G(z_1, z_2, ...) = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} z_1^{c_1(g)} ...$$

donde $c_i(g)$ es el número de ciclos de la permutación $g$ actuando en $X$.

Teorema (Exponencial de la fórmula): El ciclo del índice de polinomios de los grupos simétricos $S_m$ que actúa sobre los conjuntos de $\{ 1, 2, ... m \}$ en la forma habitual están dadas por $$\sum_{m \ge 0} Z_{S_m}(z_1, z_2, ...) t^m = \exp \left( \sum_{i \ge 1} z_i \frac{t^i}{i} \right).$$

Estoy seguro de que este resultado es bien conocido que combinatorialists pero yo en realidad no sé dónde encontrar una publicación de prueba, usted puede encontrar una prueba en este blog.

Ahora, yo reclamo que una permutación ha pedido dividiendo $n$ precisamente cuando cada ciclo en su ciclo de descomposición ha pedido dividiendo $n$. Esto no es difícil de ver. Dado este resultado, la secuencia que desea (fijo $n$) puede ser obtenida mediante el establecimiento $z_i = 0$ si $i$ no divide $n$ $z_i = 1$ lo contrario. Por lo tanto la correspondiente generación de función para el número de permutaciones de orden dividiendo $n$ $S_m$ está dado por $$\exp \left( \sum_{i | n} \frac{t^i}{i} \right).$$

Por ejemplo, si $n = m = 6$ a continuación, queremos que el coeficiente de $\frac{t^6}{6!}$ en $$\exp \left( t + \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} + \frac{t^6}{6} \right)$$

que cualquier sistema de álgebra computacional (como WolframAlpha!) le dicen a uno es $396$. Para una mayor ejemplo, si $n = m = 12$ a continuación, queremos que el coeficiente de $\frac{t^{12}}{12!}$ en $$\exp \left( t + \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} + \frac{t^4}{4} + \frac{t^6}{6} + \frac{t^{12}}{12} \right)$$

que es $133494912$.