Demuestra que $\operatorname{rank}(A^2+A+I_3)=1$

Question

Si $A \in M_3(\mathbb{R}), A \ne I_3 $ y $A^3=I_3$ Demuestra que $\operatorname{rank}(A^2+A+I_3)=1$ .

A lo que he llegado hasta ahora es que $\operatorname{rank}(A-I_3)+\operatorname{rank}(A^2+A+I_3)\le 3$ utilizando el teorema de Sylvester, y también se puede demostrar fácilmente que $\operatorname{rank}(A^2+A+I_3) \ne 0$ si eso ayuda de alguna manera, pero no tengo ni idea de lo que debo hacer ahora.
He visto el enunciado de este problema en los archivos de un concurso, pero no se ofrece ninguna solución oficial.

Answer 1

$A$ es una raíz de $x^{3}-1$ que tiene raíces distintas, por lo que $A$ puede diagonalizarse sobre los números complejos. Como es una matriz real, y es diferente de la identidad, la forma diagonal debe ser $$B =\begin{bmatrix} 1&&\\ &\omega&\\ &&\omega^{2} \end{bmatrix},$$ donde $\omega$ es una raíz tercera primitiva de la unidad. Dado que $1 + \omega + \omega^{2} = 0$ tenemos que $$ B^{2} + B + I = \begin{bmatrix} 3&&\\ &0&\\ &&0 \end{bmatrix} $$ tiene rango uno. Ahora $A$ y $B$ son conjugados, y la conjugación preserva el rango.

Answer 2

Puesto que usted sabe que $A^3=I$ tenemos $m_A(x)|x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ (el polinomio mínimo). Dado que el polinomio característico y el mínimo tienen los mismos factores irriducibles, $m_A(x)\neq x^2+x+1$ ya que de lo contrario $p_A(x)=(x^2+x+1)^k$ pero $\deg(p_A(x))=3$ .
Desde $A\neq I$ , $m_A(x)\neq (x-1)$ . Por lo tanto, toda su información equivale a $m_A(x)=x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ . Por lo tanto $A$ es diagonalizable sobre $\mathbb{C}$ a la forma $D=diag(1,\alpha,\beta)$ donde $\alpha,\beta$ son las raíces de $x^2+x+1=0$ .
Escriba a $A=PDP^{-1}$ . Entonces $A^2+A+I=P(D^2+D+I)P^{-1})$ y $rank(D^2+D+I)=1$ (deberías ver fácilmente por qué). De ahí $rank(A^2+A+I)=1$ .

Answer 3

Pista: ¿Qué se puede decir del polinomio mínimo de $A$ ?