Es

Question

¿Es $\mathbb{R^2} \subset \mathbb{C}$?

¿He escuchado que es isomorfo a $\mathbb{R^2}$ $\mathbb{C}$, pero podemos decir que $\mathbb{R^2} \subset \mathbb{C}$?

$\mathbb{R^2}$ se define como $$\mathbb{R^2} = \{ (x,y) | x, y \in \mathbb{R}\}$$ and correct me if I'm wrong, but we can define $\mathbb{C}$ over the reals as follows: $$\mathbb{C} = \left\{(x, iy) | \ x, y \in \mathbb{R} \ \ \text{and} \ \ i = \sqrt{-1} \right\}$$

Pero no veo cómo nosotros podríamos Mostrar $a \in \mathbb{R^2} \implies a \in \mathbb{C}$. Un contraejemplo podría ser sin embargo que $(1,1) \in \mathbb{R^2}$, $(1,1) \not\in \ \mathbb{C}$, $(1, i) \in \mathbb{C}$.

¿Entonces, mi conclusión es que $\mathbb{R^2} \not\subset \mathbb{C}$ correcto?

Answer 1

En primer lugar, la definición de $\mathbb C$ no es la notación correcta. No es $(a,ib)$, es generalmente escrito como $a+ib$. Es importante considerar un elemento de $\mathbb C$ como una cosa en lugar de como dos cosas. La forma $a+ib$ es sólo una forma de escribir un número complejo. $\mathbb C$ es generalmente definido por tomar el campo $\mathbb R$ y junto a una $i$ como un nuevo número que ocurre satisfacer $i^2=-1$. Pensar más como una toma de polinomios con coeficientes reales ( $\mathbb R[x]$ ), como$1+3x+5x^2-\pi x^3$, etc..., y, a continuación, conectar $i$ $x$ conseguir $1+3i+5i^2-\pi i^3$. Usted puede simplificar que con la ecuación de $i^2=-1$ si quieres. De esta manera tenemos que los números reales son, naturalmente, de un subconjunto de los números complejos, mientras que los números reales son no , naturalmente, de un subconjunto de a $\mathbb R^2$.

${\mathbb R}^2 = \mathbb C$ natural como un conjunto (haciendo caso omiso de cualquier estructura). $a+ib \in {\mathbb C}$ es el elemento $(a,b) \in \mathbb R^2$ y viceversa. Como para isomorfo, que siempre depende del contexto. $\mathbb R^2$ es, naturalmente, un real espacio vectorial, sino $\mathbb C$ es un campo, por lo que son otro tipo de objetos y hablar acerca de ellos ser isomorfo no tiene sentido. Eso es como preguntar si un coche tiene los mismos caballos de fuerza como un carrito de la compra.

Sin embargo, en el caso de $\mathbb C$ podríamos considerarlo como un real espacio vectorial (véase la definición de un espacio vectorial). Entonces como verdaderos espacios vectoriales, $\mathbb C$ $\mathbb R^2$ en realidad son isomorfos.

Alternativamente, se podría definir la multiplicación por $\mathbb R^2$ y luego demostrar que con esta operación adicional de obtener un campo, y este campo es isomorfo como un campo de a $\mathbb C$.

Esas son dos declaraciones diferentes, y en cada caso se toma uno de los objetos y de alguna manera nos lanzan en una categoría diferente por antinatural, ya sea quitando o añadiendo algunas de sus propiedades. Es como llevar tu coche, sacar el motor, olvidando que usted puede conducir en la carretera y el uso de ella como un carrito de la compra. Para un pequeño coche podría ser suficiente isomorfo a un cierto carrito de la compra en la categoría de carros de la compra. Alternativamente, usted puede agregar un motor de un carro de la compra y la unidad en la carretera y luego dicen que es isomorfo a un BMW en la categoría de coches.

Answer 2

Dos espacios de $A, B$ ser isomorfo significa que "tienen la misma forma" es decir, usted puede encontrar una función $\Phi: A \to B$ que es un bijection. Si $A$ $B$ tienen algunas operaciones definidas, a continuación, $\Phi$ debe preservar esas operaciones. Decir $A$ operaciones $\triangle_i$ $B$ operaciones $\circ_i$. Entonces tenemos que

$\Phi(x \triangle_i y) = \Phi(x) \circ_i \Phi(y)$ todos los $i$

Usted dice $A \subset B$ si $A$ sólo tiene elementos tomados de a $B$ si $A$ es un subconjunto de a $B$. Eso significaría que todos los elementos en $A$ son en realidad elementos de$B$ -. $\Bbb{R}^2 \not\subset \Bbb{C}$ desde elementos de $\Bbb{R}^2$ son vectores o parejas o en 2-tuplas y elementos de $\Bbb{C}$ son números complejos. Otro indicio que muestra que $\Bbb{R}^2 \not\subset \Bbb{C}$ es que en $\Bbb{C}$ tienes naturalmente, tanto la adición de $+$ y el producto $*$ definidos, mientras que en $\Bbb{R}^2$ normalmente sólo se utiliza la operación $+$ (a pesar de que podría definir muchas más operaciones, incluyendo una cosa similar a la del producto de números complejos en $\Bbb{C}$).