El valor de una serie

Question

Cuál es el valor de las siguientes series

$\sum_{n=1}^\infty\sum_{m=1}^\infty\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{mnk(m+n+k+1)}$

Answer 1

Tenga en cuenta que debido a que la serie para el logaritmo es: $$-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{x}^{n}}{n}}=\ln \left( 1-x \right) $$ de ello se sigue que: $$\sum _{m=1}^{\infty } \left( \sum _{k=1}^{\infty } \left( \sum _{n=1}^ {\infty }{\frac {{x}^{n+k+m}}{nkm}} \right) \right) =- \ln \left( 1-x \right) ^{3}$$ la integración entre el $x=0$ $x=1$ demuestra que: $$\sum _{m=1}^{\infty } \left( \sum _{k=1}^{\infty } \left( \sum _{n=1}^ {\infty }{\frac {1}{ \left( n+k+m+1 \right) nkm}} \right) \right) = \int _{0}^{1}\!- \ln \left( 1-x \right) ^{3}{dx}$$ la integral de la derecha puede ser evaluado, es una manera de hacer la sustitución: $x=-e^{-u}+1$ para obtener: $$\int _{0}^{1}\!- \ln \left( 1-x \right) ^{3}{dx}=\int _{0}^{\infty }\!{u}^{3}{{\rm e}^{-u}}{du}$$ la integral de la derecha puede hacerse simplemente utilizando integración por partes o por el reconocimiento como el $\Gamma$ función y nos encontramos con: $$\sum _{m=1}^{\infty } \left( \sum _{k=1}^{\infty } \left( \sum _{n=1}^ {\infty }{\frac {1}{ \left( n+k+m+1 \right) nkm}} \right) \right) = \int _{0}^{\infty }\!{u}^{3}{{\rm e}^{u}}{du}=\Gamma(4)=3!=6$$