Sobre las descomposiciones de grupos finitos

Question

Cualquier grupo abeliano finito no cíclico $G$ puede escribirse como el producto $HK$ de dos subgrupos propios. Aquí $HK=\{ hk\colon h\in H, k\in K\}$ . Un paso más allá, si $G$ es un grupo finito tal que el subgrupo conmutador $[G,G]$ es un subgrupo propio de $G$ entonces $G$ tiene una descomposición $HK$ para algunos subgrupos adecuados $H,K$ , ya que

1. si $G/[G,G]$ no es cíclico, entonces podemos retirar la descomposición para $G/[G,G]$ ;

2. si $G/[G,G]$ es cíclico, entonces tenemos la descomposición $G=HK$ donde $H=[G,G]$ y $K=\langle x\rangle$ es un subgrupo tal que $G/[G,G]=\langle x[G,G]\rangle$ .

La pregunta que me gustaría hacer es la natural:

Q. ¿Todo grupo finito admite una descomposición $G=HK$ donde $H,K$ son subgrupos adecuados?

Por las primeras observaciones, basta con visitar la pregunta para los grupos $G$ tal que $[G,G]=G$ (estos grupos se denominan grupos perfectos

Answer 1

Si realmente fuera cierto que todos los grupos finitos (que no sean cíclicos $p$ -) poseen una factorización, entonces bastaría con demostrarlo para los grupos simples no abelianos: si $G/N = (H/N) (K/N)$ entonces $G=HK$ . Una rápida comprobación revela que si $G$ es un grupo finito con un factor de composición superior de orden inferior a $1000$ entonces $G$ se puede factorizar como $G=HK$ . Sin embargo, $G=\operatorname{PSL}(2,13)$ no tiene tal factorización: las únicas posibilidades para $H,K$ por consideraciones de orden son un subgrupo de Borel y un toro no dividido. Sin embargo, su intersección es siempre de tamaño 2, que es demasiado grande, $|HK| = |G|/2$ .

Hay grandes familias en las que nunca hay factorizaciones: grupos simples finitos de tipos de Lie excepcionales $E_6$ , $E_7$ , $E_8$ o tipos retorcidos ${}^2G_2$ , ${}^3D_4$ , ${}^2F_4$ y ${}^2E_6$ no son factorizables. Esto se muestra en Hering-Liebeck-Saxl (1987).

• Hering, Christoph; Liebeck, Martin W.; Saxl, Jan. "Las factorizaciones de los grupos excepcionales finitos de tipo Lie". J. Algebra 106 (1987), nº 2, 517-527. MR 880974 DOI: 10.1016/0021-8693(87)90013-5