¿Cuál es la diferencia entre un vector y un número hipercomplejo? Por ejemplo, un vector 4 y un cuaternión. Parece que comparten muchas propiedades.
Quizás esta pregunta podría plantearse de forma más general como: ¿cuál es la diferencia entre un espacio vectorial y un campo?
En un campo puedes multiplicar dos elementos cualesquiera, así como sumarlos, mientras que en un espacio vectorial puedes sumar vectores, pero sólo puedes multiplicar por escalares; no puedes multiplicar dos vectores. (La multiplicación en un campo tiene que satisfacer algunos axiomas, pero creo que éste es el punto esencial para tu pregunta).
Un campo que contiene $\mathbb R$ o, más generalmente, un sistema de números hipercomplejos que contiene $\mathbb R$ será en particular un espacio vectorial (ya que se puede sumar, y se puede multiplicar por elementos de $\mathbb R$ es decir, por escalares), pero tendrá una estructura extra. (Por ejemplo, puedes multiplicar cuaterniones, y esto es una estructura extra que no es para nada obvia si sólo conoces $4$ -vectores).
Son conceptos distintos, sólo que los números hipercomplejos pueden utilizarse para modelar el comportamiento de los vectores en $\mathbb{R}^n$ .
A vector es un elemento de un espacio vectorial . Los espacios vectoriales son (hasta el isomorfismo) sumas directas del campo $k$ en el sentido de que un vector es un conjunto ordenado $n$ -tupla $(a_1,\ldots,a_n)$ con cada $a_i \in k$ que puede ser multiplicado por un elemento $b \in k$ que se llama escalar de la siguiente manera: $k*(a_1,\ldots,a_n) = (k*a_1,\ldots,k*a_n)$ . En el caso de los vectores reales, este campo es $\mathbb{R}$ .
Los números hipercomplejos, como los cuaterniones, se diferencian en que son elementos de ciertos álgebras sobre los números reales. Las álgebras se definen de forma similar a los espacios vectoriales, sólo que también permiten multiplicar elementos del álgebra por otros elementos del álgebra.
Básicamente, los vectores y los números hipercomplejos son conceptos diferentes y no pueden utilizarse indistintamente. Sin embargo, son similares en el sentido de que a menudo el mismo problema puede resolverse utilizando cualquiera de ellos.
Un número hipercomplejo es un elemento de un cierto tipo de álgebra unital distributiva sobre $\mathbb{R}$ . Un álgebra sobre $\mathbb{R}$ es, por definición, un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ con una estructura adicional para poder multiplicar los elementos juntos. No es muy difícil convertir un espacio vectorial finito en un álgebra de números hipercomplejos, pero la cuestión es si se puede hacer de forma natural y útil.
Por supuesto, hay espacios vectoriales sobre cualquier campo, así que también es fácil encontrar un espacio vectorial que no pueda convertirse en un álgebra de números hipercomplejos. Por ejemplo, un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo finito sólo tiene un número finito de elementos, por lo que obviamente no se puede convertir en un álgebra sobre $\mathbb{R}$ .
Lo interesante es que hay objetos que son simultáneamente todas estas cosas, y de forma recursiva: por ejemplo, $\mathbb{C}$ es tanto un campo como un álgebra sobre $\mathbb{R}$ y a fortiori un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ . Pero $\mathbb{R}$ es a su vez un campo y un álgebra sobre $\mathbb{Q}$ ... El estudio de los campos que son álgebras sobre otros campos se denomina teoría de Galois, que también encuentra aplicaciones en la geometría algebraica (¡aunque probablemente no de la forma que esperas!).
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