Reflexión y cardenales fuertes

Question

Soy nuevo en todo este gran cosa cardenal y tengo problemas para probar lo siguiente:

Si $\kappa$ es un $\gamma$-cardenal fuerte, lo suficientemente grande como $\gamma$, entonces el $\kappa$ % es $\Sigma_2$-refleja.

Cualquier idea o sugerencias serán bienvenidas.

Gracias de antemano

Answer 1

Un cardenal $\kappa$$\Sigma_2$, reflejando si cada vez que una sentencia de $\varphi$ es cierto en algunas $V_\alpha$, entonces no es un $\alpha\lt\kappa$ tal que $V_\alpha\models\varphi$.

(Esto puede ser visto para ser equivalente a la "reflejo" de la versión de $\Sigma_2$-reflexionando desde todos los $\Sigma_2$ declaración $\psi$ es equivalente a una declaración de la forma "$\exists\alpha V_\alpha\models\varphi$", donde $\varphi$ es cierta la frase (sin límite en la complejidad de $\varphi$). Pero dejemos esto a un lado.)

Ahora, si $\kappa$ es un fuerte cardenal, y hay algunos que se $\alpha$ sobre $\kappa$ tal que $V_\alpha\models\varphi$ para algunos declaración de $\varphi$, a continuación, fije un $\alpha$-de la fortaleza de la incrustación de $j:V\to M$ con punto crítico $\kappa$. Desde $V_\alpha^M=V_\alpha$, el modelo de $M$ piensa que no es $\alpha\lt j(\kappa)$ que $V_\alpha\models\varphi$. Así, por elementarity, no es $\alpha\lt\kappa$ $V$ que $V_\alpha\models \varphi$, con lo que la comprobación de que $\kappa$$\Sigma_2$, reflejando, como se desee.

Ahora, para responder a su pregunta, elija cualquiera de los $\gamma\gt\kappa$ de manera tal que todos los $\Sigma_2$ estados financieros reflejan de$V$$V_\gamma$. Un cardenal $\gamma$ existe por el teorema de Reflexión. Ahora, yo reclamo que cualquier $\gamma$-fuerte cardenal $\kappa$$\Sigma_2$, reflejando, ya que cualquier declaración de $\varphi$ en $V_\alpha$ va a ser cierto en algunos $V_\alpha$ $\alpha\lt\gamma$ por la elección de $\gamma$, y por lo tanto $\varphi$ será verdadera en $V_\alpha$ algunos $\alpha\lt\kappa$ por el argumento del párrafo anterior.

De hecho, es fácil ver que si $\kappa$ $\gamma$- fuerte por esta $\gamma$, de hecho es totalmente fuerte, ya que cualquier violación de la fortaleza de $\kappa$ sobre $\gamma$ estaría reflejado por debajo de $\gamma$.