¿Recomendaciones para un "iluminar" (explicado en el post) recursos de álgebra teoría del grupo y abstractos?

Question

Recientemente he hecho una pregunta acerca de por qué homomorphisms y isomorphisms son importantes. La mejor respuesta a esa pregunta era en realidad un comentario, que me remitió a Brian M. Scott respuesta aquí: http://math.stackexchange.com/a/242370/115703

Esa respuesta fue la mente increíblemente perspicaz para mí. Finalmente, empecé a entender por qué a alguien le importa homomorphisms, y por qué el "núcleo" en realidad podría ser llamado un núcleo. La revelación tras revelación. Escalofrío por todo.

¿Por qué no este tipo de explicación es fácil encontrar en los libros de texto de álgebra, aunque? (Estoy leyendo Dummit y Foote, y Rotman) no Debería ser esta la primera cosa que un libro de texto dice. Ejemplo:

Dicen que estamos interesados en estudiar la estructura de los números pares y los impares. Si la miramos desde la perspectiva del conjunto de $\mathbb{Z}$, entonces es probable que llevar un montón de equipaje extra desde $\mathbb{Z}$ tiene más estructura de "pares e impares". Lo que si se estudia la estructura de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ lugar? Además, sería útil, para tener algún tipo de correlación entre $\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}/\mathbb{2Z}$, ya que son realmente el estudio de los números enteros, en una "reducción de la estructura". ¿Qué tipo de asignaciones podríamos estar interesados en... (puntos suspensivos para una mejor forma de explicar el argumento entre donde me han dejado, y a donde yo voy, que se me escapa ahora mismo), para que el concepto de un homomorphism.

Sin embargo, también podríamos estar interesados en preguntar cómo un homomorphism entre el $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ cambios/conserva la estructura de $\mathbb{Z}$. Por ejemplo, puede ser curioso acerca de que los elementos de $\mathbb{Z}$ esencialmente se convierten en el "mismo" en $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$...--entonces, el concepto de un núcleo. Por otro lado, que los elementos de conservar un cierto sentido de la "diferencia"...--entonces, el concepto de imagen.

Un isomorfismo es sólo un homomorphism que conserva el detalle exactamente -- es decir, no el colapso de los elementos en $\mathbb{Z}$ en el "mismo" elemento $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$..-- que es por eso que su núcleo es la identidad.

En realidad, tal vez en lugar de ver homomorphisms y isomorphisms como la estructura de la preservación de los mapas entre los grupos, debemos verlos como generadores de los grupos? es decir, dado un cierto grupo, y construimos algo que es un homomorphism con el fin de explorar un nuevo grupo relacionado con el grupo de edad, dado que homomorphism?

Mucho de lo que he escrito es muy "suave" y no se concretará. Algunas partes son francamente saltado (puntos suspensivos) porque todavía me falta la sabiduría para explicarlo bien. Independientemente, el punto es que, cuando el primer aprendizaje de estos temas, con el fin de comprender las definiciones, sería muy iluminador el "big picture" detrás de todos los detalles que se acerca a seguir.

Hay un álgebra abstracta de texto que proporciona este tipo de iluminación? Idealmente, el texto también contiene todas las pruebas necesarias para formalmente la definición de un tema, pero tal vez eso es pedir demasiado?

Aún más, idealmente, un texto que lidiar con la mayoría de álgebra abstracta (al menos de los grupos, anillos y campos), pero que podría ser pedir demasiado, de nuevo. Así, tal vez, las recomendaciones pueden ser divididos en categorías, dependiendo de qué aspecto de álgebra abstracta que abordar en particular.

Answer 1

Creo que ahora estoy finalmente en alguna posición para responder a esta pregunta, pero mi respuesta todavía será actualizado con el tiempo.

Permítanme comenzar diciendo que el reconocimiento de isomorphisms y homomorphisms como definiciones en su propio derecho no es trivial, y que históricamente se tomó mucho tiempo para desarrollarse. De Stillwell de Elementos de Álgebra (tenga en cuenta que Stillwell es también el autor de la igualmente fabuloso Matemáticas y su Historia):

Los conceptos de isomorfismo y homomorphism surgió poco a poco en álgebra, se observa en primer lugar para los grupos de alrededor de 1830, para los campos alrededor de 1870 y para los anillos alrededor de 1920. En su libro de memorias sobre la solvencia de las ecuaciones, Galois [1831] implícitamente grupos analizados por medio de homomorphisms...

El primero en usar el término "isomorfismo" fue Jordan, en su Traite des Sustituciones [1870], el primer libro de texto sobre la teoría de grupo...Jordan usó la palabra "isomorfismo" para ambos isomorphisms y homomorphisms, pero distingue entre los dos llamándolos "isomorphismes holoedriques" y "isomorphismes meriedriques", respectivamente.

No sé por qué Jordan, escogió las palabras que él hizo por esos conceptos, pero recientemente he puesto una pregunta para averiguar por qué.

Es curioso notar que "homomorphism" es la primera utilizado en Stillwell de Elementos de Álgebra en el contexto de los anillos, donde:

...la estructura de un anillo a menudo puede ser dilucidado por un homomorphism en un simple anillo de recordar cómo hemos aprendido acerca de la estructura de $\mathbb{Z}$ en el Capítulo 2, mediante la asignación de a $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$...

Supongo que Stillwell del libro es un poco raro, en general, porque lleva el lector a partir de los anillos de los campos, y, finalmente, los grupos.

De todos modos, vamos ahora a cambiar nuestra atención a Pinter es Un Libro de Álgebra Abstracta. En Pinter del libro, los Grupos se introdujo en el Capítulo 3, pero homomorphisms se discutió por primera vez como un concepto en su propio derecho en el Capítulo 14. Aquí, Pinter nos dicen:

...Esta noción de homomorphism es una de las llaves maestras de álgebra, y este capítulo está dedicado a explicar y definir con precisión.

No es difícil definir homomorphisms precisamente, pero el hecho de que Pinter considera este concepto a ser profunda, y su valor no es inmediatamente evidente a partir de su definición por sí sola nos da esperanza. Él continúa (empahsis conservado de texto):

La función de $f: \mathbb{Z} \mapsto P$ [donde $P = \{e, o\}$] que lleva cada entero a $e$ y cada entero impar a $o$ es...un homomorphism de$\mathbb{Z}$$P$.

...Ahora, ¿qué $P$ $\mathbb{Z}$ tienen en común? $P$ es mucho más pequeño grupo de $\mathbb{Z}$, por lo tanto no es de extrañar que muy pocas propiedades de los números enteros se pueden encontrar en $P$. Sin embargo, un aspecto de la estructura de $\mathbb{Z}$ es retenido absolutamente intacta en $P$, es decir, la estructura de los números pares y los impares. (El hecho de ser par o impar se llama la paridad de los números enteros.) En otras palabras, a medida que pasamos de $\mathbb{Z}$ a P deliberadamente se pierden todos los aspectos de los números enteros, excepto que su paridad; su paridad solos (con su aritmética) es mantenido y preservado fielmente.

Otro ejemplo de hacer este punto más claro. Recuerde que $D_4$ es la el grupo de simetrías del cuadrado.

Ahora, cada simetría de la plaza de cualquiera de los intercambiadores de las dos diagonales aquí marcados como 1 y 2, o los deja como estaban. En otras palabras, cada simetría de la plaza, trae una de las permutaciones de las diagonales.

...$S_2$ es una imagen homomórfica de $D_4$. Ahora, $S_2$ es menor grupo de $D_4$, y por lo tanto muy pocas de las características de $D_4$ se encuentran en $S_2$. Sin embargo, un aspecto de la estructura de $D_4$ es retenido absolutamente intacta en $S_2$, es decir, la diagonal de movimientos. Por lo tanto, como pasamos de la $D_4$ $S_2$deliberadamente se pierden todos los aspectos de movimientos en planos, excepto los movimientos de las diagonales; estos solo se han conservado y preservado fielmente.

Un último ejemplo puede ser de alguna ayuda...La forma más básica de transmisión de la información es el código en cadenas de $0$s y $1$s, tales como $0010111$, $1010011$, etc. [llamado "binario palabras"]...El símbolo $\mathbb{B}_n$ designa el grupo que consiste de todos los binarios de palabras de longitud $n$, con una operación de adición [or bit a bit]...

Considere la función $f: \mathbb{B}_7 \mapsto \mathbb{B}_5$ que consiste en dejar caer los dos últimos dígitos de cada siete dígitos de la palabra. Este tipo de función que surge en muchas situaciones prácticas: por ejemplo, sucede con frecuencia que los primeros cinco dígitos de una palabra de llevar el mensaje, mientras que los dos últimos dígitos son un error de verificación. Por lo tanto, $f$ separa el mensaje de error de verificación.

Es fácil comprobar que $f$ es un homomorphism, por lo tanto es un homomórfica imagen de $\mathbb{B}_7$. Como pasamos de la $\mathbb{B}_7$$\mathbb{B}_5$, el componente de mensaje en las palabras de $\mathbb{B}_7$ se conserva exactamente mientras que el error de verificación se han perdido.

¿Necesito decir más? No, yo no necesito decir más, pero yo: Pinter del libro es impresionante. Inspeccioné un par de álgebra abstracta libros durante el mes pasado, y este es el único que he encontrado que le da importancia al concepto de isomorfismo/homomorphism (muy común en los textos de álgebra), y ayuda a dar al lector una idea de por qué el concepto es importante (muy raro en los textos de álgebra).

Si usted encuentra más libros que pasar el "¿qué tan bien explicar homomorphisms?" prueba de fuego, por favor compartir!!!

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Algo adicional, para completar el cuadro de homomorphisms: es una estrategia muy buena, a la hora de estudiar algo complejo, para identificar y nombrar sólo las más destacadas características de la estructura que estamos interesados en. Aquí hay alguna justificación para ello a partir de la resolución de un problema de perspectiva, en una conferencia por Edsger Dijkstra (el de Dijkstra en el de Dijkstra el algoritmo; sólo echa un vistazo a la cabra, el lobo y col ejemplo, que es el primero): https://www.youtube.com/watch?v=0kXjl2e6qD0

Más de Edsger Dijkstra: http://www.cs.utexas.edu/~EWD/