$1 + \frac {1}{2} \binom{n}{1} + \frac {1}{3} \binom{n}{2} + \dotsb + \frac{1}{n + 1}\binom{n}{n}$ En una forma simplificada de expresar

Question

Necesito expresar %#% $ de #% en una forma simplificada.

Así que utilicé la identidad $$1 + \frac {1}{2} \binom{n}{1} + \frac {1}{3} \binom{n}{2} + \dotsb + \frac{1}{n + 1}\binom{n}{n}$ $ ahora en integrar ambos lados y poner $$(1+x)^n=1 + \binom{n}{1}x + \binom{n}{2}x^2 + \dotsb + \binom{n}{n}x^n$.

¿Me estoy poniendo $x=1$$$\frac{2^{n+1}}{n+1}$% $ $ is equal to the given expression.But the answer in my book is $de donde viene ese término-1 en el numerador?

Answer 1

ps

Answer 2

Entre los $n+1$ de la gente, un subconjunto es seleccionada al azar (es decir, cada persona será en el subconjunto o no con una probabilidad de $1/2$). Entonces una persona en el subconjunto (si está vacío) es seleccionado al azar para ganar un premio. ¿Cuál es la probabilidad de que yo (uno de los $n+1$ personas) ganar?

Hay $\binom{n}{k}$ formas de seleccionar un subconjunto de tamaño $k+1$ que contiene mí; la probabilidad de que el subconjunto es $\frac{1}{2^{n+1}}$, y la probabilidad de que soy yo el que está seleccionado es $\frac{1}{k+1}$. Así que la probabilidad deseada es $$ \frac{1}{2^{n+1}} \sum_{k=0}^n \frac{1}{k+1} \binom{n}{k}. \etiqueta{1} $$ Por otro lado, todos fuera de la $n+1$ tiene la misma oportunidad de ganar, y sólo hay un $\frac{1}{2^{n+1}}$ de probabilidad de ser seleccionado, por lo que la probabilidad es $$ \frac{2^{n+1} - 1}{2^{n+1}} \cdot \frac{1}{n+1}. \etiqueta{2} $$ Así, (1) y (2) son iguales, y si multiplicamos por $2^{n+1}$ tenemos $$ \sum_{k=0}^n \frac{1}{k+1} \binom{n}{k} = \frac{2^{n+1} - 1}{n+1}. $$

Answer 3

Tenga en cuenta que $\Large {{n+1}\choose {k+1}}=\frac{(n+1)!}{(n-k)!(k+1)!}$

$\Large =\frac{n+1}{k+1}\frac{n!}{(n-k)!k!}=\frac{n+1}{k+1}{n\choose k}$, $\quad$ que tiene para todos los enteros positivos $k\leq n$.

Que $S$ sea la suma de la serie dada.

Entonces, $S=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k+1}{n\choose k}=\frac{1}{n+1}\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\frac{n+1}{k+1}{n\choose k}$

$=\frac{1}{n+1}\displaystyle\sum_{k=0}^{n}{{n+1}\choose {k+1}}$

$=\frac{1}{n+1}\left [\displaystyle\sum_{k=0}^{n+1}{{n+1}\choose k}-1\right ]$

$=\frac{1}{n+1}\left (2^{n+1}-1\right )$

Answer 4

Recuerde cuando se integran ambos lados, será la constante de integración. Necesita primero encontrar esta constante de integración. Es de donde viene el $-1$. En realidad, es $\frac{-1}{n+1}$ pero se ve como $-1$ debido a que es absorbido en el numerador.

Te puede gusta intentar $x=0$ para encontrar este valor de $+C$...