Enrejado de Gauss y de números enteros de Eisenstein

Question

• Z es una celosía de 1D
• Gauss y Eisenstein enteros son 2D celosías
• Sin embargo, el oro enteros (por ejemplo) son densos en la recta real.

Hay anillos de enteros que han 3D, 4D, ... celosías?

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Aquí está una parcela de $(a + \tfrac{1}{2}(1+\sqrt{5})b,a + \tfrac{1}{2}(1-\sqrt{5})b)$$-10\le a,b \le 10$.

que es el entramado correspondiente a la de oro enteros, si entiendo correctamente. Los puntos verdes representan racionales enteros, y los puntos azules representan múltiplos de $\varphi$.

Answer 1

El ejemplo de el oro enteros (y más en general de los anillos de enteros en cuadrática número de campos positivos discriminante) muestra que la única integración en $\mathbb{R}$ es insuficiente. En cambio, si $K = \mathbb{Q}(\sqrt{d}), d > 0$, entonces la forma más adecuada para incrustar $K$ como un entramado en el plano es mirar a ambos incrustaciones $\sigma_1, \sigma_2 : K \to \mathbb{R}$. El primero envía a $\sqrt{d}$ $\sqrt{d}$y el segundo envía $\sqrt{d}$$-\sqrt{d}$. Juntos dan una incrustación $(\sigma_1, \sigma_2)$ $K$ a $\mathbb{R}^2$, y en relación a esta incrustación del anillo de enteros $\mathcal{O}_K$ realmente es una celosía.

Más generalmente, si $K$ es un campo de número de grado $n$, entonces no se $n = r + 2s$ incrustaciones $\sigma_i : K \to \mathbb{C}$, $r$ de los que tienen imagen en $\mathbb{R}$ $2s$ de los que han de imagen fuera de $\mathbb{R}$, que entran en el complejo conjugado de pares. Aquí la generalización de la por encima de la incrustación es el uso de todos los de la real incrustaciones $\sigma_1, ... \sigma_r$ y un representante de cada par complejo conjugado del complejo incrustaciones $\sigma_{r+1}, ... \sigma_{r+s}$. Esto le da una incrustación $K \to \mathbb{R}^r \times \mathbb{C}^s$, y la incrustación de $\mathbb{C}$ a $\mathbb{R}^2$ da una incrustación $K \to \mathbb{R}^n$.

En relación a esta incorporación, es un ejercicio estándar que $\mathcal{O}_K$ es un entramado en $\mathbb{R}^n$ de la fila $n$. Este es el estándar de construcción utilizado para acreditar la finitud de la clase de grupo y de Dirichlet de la unidad de teorema, y los detalles se pueden encontrar en cualquier libro sobre la teoría algebraica de números.