Demuestre que no hay ningún polinomio no nulo $P(u,v)$ en dos variables con coeficientes reales tales que $P(x, \cos x) = 0$ es válida para todos los reales $x$

Question

Me encontré con el siguiente problema de análisis real mientras revisaba, y estoy realmente atascado en este:

Demuestre que no hay ningún polinomio no nulo $P(u,v)$ en dos variables con coeficientes reales tales que $P(x, \cos x) = 0 $ es válida para todos los reales $x$ .

Simplemente no tengo ninguna intuición sobre la inexistencia de tal $P$ . ¿Me estoy perdiendo algo obvio? Empezando por el problema, ¿por qué esperas que la afirmación anterior sea cierta?

Answer 1

Supongamos que tal $P$ existe; de hecho, supongamos que $P$ es el polinomio de menor grado. Nótese que $P(x, 0)$ es un polinomio en $x$ y para cualquier $k \in \mathbb{Z}$ ,

$$P\left(\frac{\pi}{2} + k\pi, 0\right) = P\left(\frac{\pi}{2} + k\pi, \cos\left(\frac{\pi}{2} + k\pi\right)\right) = 0$$

donde la última igualdad se mantiene porque $P(x, \cos x) = 0$ por cada $x$ . Pero entonces $P(x, 0)$ tiene ceros en $x = \frac{\pi}{2}+k\pi$ por cada $k \in \mathbb{Z}$ . Como $P(x, 0)$ es un polinomio, debemos tener $P(x, 0) = 0$ para todos $x$ Así que $P(x, y) = yQ(x, y)$ para algún polinomio real $Q$ .

Tenga en cuenta que $P(x, \cos x) = (\cos x)Q(x, \cos x) = 0$ . Para cualquier $x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi$ , $\cos x \neq 0$ por lo que para cualquier $x$ , $Q(x, \cos x) = 0$ . Como $Q(x, \cos x)$ es continua, debemos tener $Q(x, \cos x) = 0$ para todos $x$ . Pero $Q$ tiene un grado estrictamente menor que $P$ que es una contradicción.

Answer 2

Puedes escribir $P(u,v)=\sum_{k=0}^n q_k(v)u^k$ donde el $q_k$ son polinomios reales en una variable. Se nos da que, para cualquier $a\in[-1,1]$ el polinomio en $u$ dado por $P(u,a)$ tiene infinitos ceros, porque la ecuación $\cos u=a$ tiene infinitas soluciones. Esto significa que $q_k(a)=0$ para todos $k$ . Desde $a\in[-1,1]$ es arbitraria, esto significa que cada $q_k$ es idéntico a cero.