¿Si $f:X\to S^n$ es continua y $v_0\in S^n$, encontramos $F:X\to O(n+1)$ tal que $F(x)v_0=f(x)$ % todo $x$?

Question

El conjunto $O(n+1)$ ortogonal de matrices actúa transitivamente sobre $S^n\subseteq\Bbb R^{n+1}$, lo que significa que por cada $x,y\in S^n$ hay una matriz de $A\in O(n+1)$ tal que $Ax=y$.

Ahora supongamos que $X$ es un espacio topológico y que tenemos un continuo mapa de $f:X\to S^n$. Si fijamos $v_0\in S^n$, la transitividad de la $O(n+1)$ significa que para cada $x\in X$ existe $A_x\in O(n+1)$ tal que $A_xv_0=f(x)$.

Pregunta: Puede elegimos las matrices $A_x$ de tal manera que el mapa $$F:X\to O(n+1),\quad x\mapsto A_x$$ es continua?

Sería suficiente para demostrar que la evaluación mapa $$\Phi:O(n+1)\to S^n,\quad \Phi(A)=Av_0$$ tiene un continuo derecho inversa $$\Psi:S^n\to O(n+1).$$ En ese caso podemos tomar $F=\Psi\circ f$.

Answer 1

Su pregunta en realidad es equivalente a la existencia de un derecho inversa, mediante la adopción de $X = S^n$.

No necesariamente. Pick $f: S^2 \to S^2$ a ser el mapa de identidad, y supongamos que tienes un levante $F: S^2 \to O(3)$. Debido a $\pi_2 O(3) = 0$, este ascensor es nulo homotópica. Luego de proyectar el null-homotopy abajo a $S^2$, obtenemos un valor null-homotopy de la asignación original; eso es una tontería, como el mapa de identidad $S^2 \to S^2$ induce un isomorfismo en segundo homología.

Para $n = 1$, esto es cierto, porque la acción que ha definido $SO(2) \to S^1$ es un diffeomorphism.

Esta es, sin embargo, en ocasiones cierto. Un caso particular es $n=3$; podemos pensar de $SO(n+1) \to S^n$ principal $SO(n)$-bundle, y una sección de este paquete es la misma cosa como una trivialización de la agrupación. $G$-paquetes de más de $S^n$ están clasificados por homotopy clases de mapas del ecuador $S^{n-1} \to G$; esta construcción es conocida como el embrague funciones. Pero, en particular,$\pi_2 SO(4) = 0$, por lo que este paquete en realidad es trivial para $n=3$.

Answer 2

El derecho inversa idea que tú y Mike se mencionó en el clavo.

Llame a una esfera $S^n$ especial si para cada continuas $f:X\rightarrow S^n$, hay una continua $F:X\rightarrow O(n+1)$ como se ha definido.

Entonces tenemos el siguiente teorema:

$S^n$ es especial fib $n = 0,1,3,$ o $7$.

Prueba: Como se ha mencionado por Mike, $S^n$ es especial fib no es un derecho inversa a la canónica mapa de $O(n+1)\rightarrow S^n$. Pero el mapa de proyección $O(n+1)\rightarrow S^n$ da $O(n+1)$ la estructura de un director de una $O(n)$ paquete de más de $S^n$. En el contexto de paquetes, el nombre de "derecho inversa" normalmente va por el nombre de "sección".

Por suerte, no es demasiado difícil demostrar que un director paquete tiene una sección iff es trivial.

Por lo tanto, hemos mostrado $S^n$ es especial si el principal paquete de $O(n)\rightarrow O(n+1)\rightarrow S^n$ es realmente trivial. Pero un colector tiene un trivial marco de paquete iff es parallelizable. Según Adams, esta se produce iff $n=0,1,3$, o $7$.$\square$

Tan lejos como conseguir una explícita $\Psi$$S^0$,$O(1) = S^0$, por lo que es fácil. Además, $O(2)$ es de dos copias disjuntas de $S^1$, por lo que sólo mapa $S^1$ para el componente de $O(2)$ que contiene la identidad. (Es decir, el uso de $SO(2)\subseteq O(2)$ como Mike sugerido).

Pero aquí es un método que funciona en todos los $4$ de los casos de forma simultánea. Deje $\mathbb{K}\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{H}, \mathbb{Ca}\}$, (correspondiente a$n=0,1,3,7$, respectivamente), donde los dos últimos son los cuaterniones y octonions.

Deje $e_i\in \mathbb{K}$ el valor del vector cuyas $i$th entrada es $1$ con todas las otras entradas $0$.

Empezar por definir $\Psi:S^n\rightarrow O(n+1)$ $\Psi(e_1)$ a la matriz en $O(n+1)$ con columnas dado por $e_1,e_2,..,e_n$, que es sólo una forma complicada de decir $\Psi(e_1) = I$.

Ahora bien, dado $p\in S^n\subseteq \mathbb{K}$, definir $\Psi(p)$ a la matriz en $O(n+1)$ cuyas columnas son $pe_i$. (De hecho, la imagen se es $SO(n+1)$)