Usos del holomorfo, Hol( $G$ ) = $G \rtimes $ Aut( $G$ )

Question

En todos los libros de texto de teoría de grupos que he leído, se ha definido el holomorfo, y quizá se han hecho algunos problemas con él. También he visto artículos que se centran en el cálculo de Hol( $G$ ) para una clase específica de $G$ .

Una cosa que nunca he visto es un uso real de la misma. ¿Existen resultados importantes que utilicen el holomorfo de un grupo? ¿Aparece en la demostración de algún teorema útil?

Me parece intrínsecamente interesante ya que permite tratar uniformemente los automorfismos de un grupo y los elementos de un grupo, y definitivamente me gustaría aprender más sobre ello.

Answer 1

Si G es abeliano, entonces el holomorfo de G es un grupo razonablemente bonito. Si G es un grupo abeliano elemental finito de orden p n , entonces se puede considerar que es un espacio vectorial sobre Z/pZ. El grupo de automorfismo es el grupo GL(n,p) de matrices n×n invertibles sobre Z/pZ. El holomorfo se llama grupo lineal general afín, AGL(n,p), que puede considerarse como matrices (n+1)×(n+1) [ A, v ; 0, 1 ] donde A en Aut(G) ≅ GL(n,p) y v en G ≅ (Z/pZ)^n. Si se restringe el grupo de automorfismo para incluir sólo los automorfismos de GF(p^k), donde k divide a n, entonces se obtiene un subgrupo AGL(n/k,p^k) que también es importante.

Este tipo de grupos son (uno de) los ejemplos estándar de grupos de permutación primitivos. Todo grupo de permutación primitivo soluble tiene algún subgrupo normal mínimo G que es abeliano elemental, y un subgrupo máximo M contenido en Aut(G) = GL(n,p) que actúa irreduciblemente sobre G, y el grupo mismo es entonces el subgrupo obvio { [ A, v ; 0, 1 ] : A en M } de AGL(n,p). Los grupos primitivos insolubles pueden sustituir a G por uno o dos grupos simples no abelianos, pero una buena parte de la teoría sigue siendo válida.

Todos estos son ejemplos de la motivación original del holomorfo como normalizador en el grupo simétrico de la representación regular del grupo. Por ejemplo, un subgrupo Sylow p del grupo simétrico en p puntos es regular de orden p, y el normalizador Sylow es el holomorfo, AGL(1,p).

Los subgrupos normales regulares aparecen con frecuencia en los grupos de permutación y en la teoría de grupos computacional (normalmente como algo que debe evitarse debido a que se comportan de forma muy diferente), y sus normalizadores (también conocidos como el grupo entero, ya que el subgrupo es normal), están contenidos en el holomorfo.

Los grupos solubles primitivos, y en general, los subgrupos "irreducibles" de AGL(n,p), suelen ser ejemplos importantes de "frontera" (como en la frontera de una clase de Schunck) que no tienen una propiedad, pero tal que todo cociente la tiene. Se elige "M" para que tenga la propiedad, y entonces se toma "G" como un módulo M irreducible tal que M⋉G no tiene la propiedad. Me molesta llamar a M el grupo y a G el módulo, así que en la siguiente parte M será el módulo, y R el anillo:

Se puede construir algo similar a una holomorfia a partir de cualquier módulo sobre un anillo. Se toman las matrices [ r, m ; 0, 1 ] donde r en R, m en M, y se obtiene otro anillo donde M el módulo se convierte en M el ideal; una extensión llamada trivial. Si en lugar de todo R, sólo se toman las unidades de R, GL(1,R), entonces se obtiene un bonito grupo. Por ejemplo, si tomamos R como los enteros p-ádicos extendidos por una raíz p de la unidad z (que no esté ya ahí), y M como R, entonces obtenemos un grupo pro-p muy importante de la coclase 1, G = { [ z^i, r ; 0, 1 ] : 0 ≤ i < p, r en R }. Para p=2, se trata de una versión pro-2 del grupo diédrico, y para todo p sus cocientes finitos son grupos p "principales" de clase máxima.

Cuando G no es abeliano, muchos de estos comentarios siguen siendo válidos, pero las formulaciones matriciales suelen ser menos esclarecedoras. En general, el holomorfo es un entorno muy agradable en el que trabajar con un grupo G y sus automorfismos, con un subgrupo normal regular G, con un grupo soluble primitivo o con varios otros ejemplos agradables.

Answer 2

Para la cohomología simplicial/celular, una forma de pensar en ella es en términos de estructuras celulares duales: si $a_1,a_2,\dotsc$ son su $k$ -simples o $k$ -células, entonces generan el $k$ grupo de la cadena, y el $k$ El grupo de cochainas está generado por sus duales $\alpha_1,\alpha_2,\dotsc$ , donde $\alpha_i(a_j)=\delta_{ij}$ . A continuación, se puede dibujar una estructura de doble celda que tiene un $n-k$ -célula para cada $k$ en su espacio original, con cada celda representando una co-cadena, y con esa co-cadena enviando las cadenas que interseca a $1$ y el resto a $0$ (y se extiende linealmente). Así que si tu espacio es una superficie, pones un vértice dentro de cada cara, dibujas una arista entre dos de esos vértices si hay una arista entre las caras correspondientes, y añades una cara entre un conjunto de aristas si las aristas duales se cruzan todas en un vértice.

Entonces la homología de la nueva estructura celular es la cohomología de la estructura original. Con coeficientes de campo en una variedad, al menos. Pero permite visualizar, por ejemplo, el mapa de coordenadas: en el caso de nuestra superficie, envía $C^1$ a $C^2$ pero $C^2$ "parece de 0 dimensiones", por lo que el mapa cofronterizo "parece un mapa de límites", que es algo con lo que sus alumnos, con suerte, están familiarizados.

Además, si lo haces con poliedros platónicos, obtienes otros poliedros platónicos. Un cubo se convierte en un octaedro, etc. Por supuesto, todos tienen la misma (co)homología, pero tienen diferentes grupos de (co)cadena, así que son bonitos ejemplos triviales, y más interesantes que una esfera arbitraria.

Hatcher lo repasa muy brevemente al principio de su capítulo sobre cohomología. También da una cosa que se puede hacer con $\mathbb{Z}$ coeficientes que es similar, aunque en este caso se puede tropezar con la torsión, así que no sé si es un ejemplo tan bueno.

La otra cosa que se puede hacer es tomar la táctica algebraica sin sentido. Nos gusta la cohomología porque a veces queremos que los mapas vayan en la dirección equivocada. Por ejemplo, su estructura de anillo es más fácil de trabajar que la estructura de álgebra de la homología (si tus hijos están familiarizados con la homología, en este punto les enseñas la estructura de álgebra inducida por el mapa diagonal y lo difícil que es trabajar con ella). Y obtienes mucha información de forma gratuita sólo por saber que ciertos mapas son homomorfismos de anillo en lugar de homomorfismos de grupos abelianos graduados. No se me ocurre un buen ejemplo, pero sé que hay uno.

Oh, me enseñaron la cohomología de Rham antes de saber lo que es la homología. Creo que es bastante fácil de entender. Esa es otra opción.

Answer 3

El holomorfo se utiliza en la teoría de las estructuras de Galois de Hopf. Si L/K es una extensión de Galois con el grupo de Galois G, entonces las clases de isomorfismo de las álgebras de K-Hopf H tales que hay un isomorfismo de álgebra de L-Hopf $L \otimes H \to L[G]$ están en biyección con incrustaciones regulares de G en su holomorfo. Este es un caso especial de una afirmación más general para extensiones separables arbitrarias y anillos de grupo para otros grupos del mismo orden debida a Greither y Pareigis, con mejoras de Byott.

Answer 4

Otro uso extensivo del holomorfo es en el estudio de módulos cruzados / 2-grupos (en el sentido de categorización). Cualquier grupo da lugar a un groupoide de un objeto. Cualquier grupoide $G$ produce un gadget de endomorfismo $G^G$ que es la categoría de funtores de $G$ a sí mismo. Esto es a la vez un grupito y un monoide (bajo composición de funtores). Ahora mira los funtores que son isomorfismos. Eso nos da una categoría que también es un grupo. (¡Sí, lo digo en serio! Es el subgrupo de la estructura del monoide.) Eso lo convierte en un 2-grupo en ese sentido categorizado. Cualquier 2-grupo produce un módulo cruzado y el módulo cruzado aquí es sólo el homomorfismo del automorfismo interno $G\to Aut(G)$ . El grupo 2 es el holomorfo.

Esta construcción básica es fundamental para muchos tratamientos de la cohomología no abeliana (de grupos y de gavillas de grupos). Véanse los artículos de Larry Breen y, más recientemente, los de Aldrovandi y Noohi. (Puedes encontrar material sobre esto en el n-Lab y también en mis notas de Menagerie, una versión de las cuales está en mi página web del n-Lab). También es fundamental para los intentos de poner en práctica el programa Pursuing Stack de Grothendieck, ¡aunque eso también necesita muchas más aportaciones!

(Puedo dar referencias detalladas si son de interés).