¿Por qué la densidad lagrangiana es correcta?

Question

Los libros de texto que tengo disponible explicar que debido a los infinitos grados de libertad de un campo, el objeto correspondiente en QFT es el lagrangiano de la densidad. Una de lagrange se obtiene para el campo mediante la integración en el espacio.

Puedo encontrar la justificación de este procedimiento claro. En la mecánica clásica, la lagrangians de dos partículas de agregado sólo si el particules no interract. Qué significa que la densidad lagrangiana concepto sólo es válido para un campo libre? Lo que sucede en el caso de interracting partículas?

Answer 1

En la mecánica clásica, la lagrangians de dos partículas de agregado sólo si el particules no interract.

Yo no diría eso. Siempre puedes escribir un Lagrangiano $L$ para un sistema de dos partículas. En general, toma la forma

$$L = L_1 + L_2 + L_i$$

donde $L_i$ es un término de interacción que depende de las coordenadas y/o las velocidades de ambas partículas. Si y sólo si las partículas no interactúan, $L_i = 0$, y sólo en ese caso se puede escribir el Lagrangiano como la suma de las partículas individuales Lagrangians $L_1$$L_2$.

Una idea similar se aplica en la teoría cuántica de campos. Recuerde que el QFT de Lagrange densidades de adoptar formas como

$$\mathcal{L}(\phi, \partial\phi) \sim (\partial\phi)^2 - m^2\phi^2 - \sum_n g_n\phi^n$$

Por supuesto, hay muchos tipos diferentes, pero en general siempre hay una cinética de plazo, lo que implica que los derivados de los campos, y otros términos que representan la masa del campo o de las interacciones entre el campo y de sí mismo o de otros campos.

Ahora, en un sentido, un derivado es un modo de acoplamiento de los valores de algún objeto en diferentes puntos espacio-tiempo. Por lo que debería de hacer sentido de que la cinética término de la real de Lagrange

$$L_\text{kin} \sim \int\mathrm{d}^3\mathbf{x}\ (\partial\phi)^2$$

las parejas de los valores del campo $\phi$ en puntos diferentes en el espacio-tiempo. Esto es análogo al término de $L_i$ en el clásico de Lagrange, que involucra las coordenadas de múltiples partículas, excepto que aquí, las coordenadas son reemplazados por los campos y las partículas son reemplazados por los lugares. Así, dispone de un plazo que las parejas de los campos en los diferentes puntos espacio-tiempo.

Observe, sin embargo, que en el resto de la Lagrangiana, no existen derivados. Esto significa que fuera de la cinética plazo, no hay ninguna conexión entre lo que sucede en diferentes puntos en el espacio-tiempo. Específicamente, los términos de interacción

$$\int\mathrm{d}^3\mathbf{x}\ \sum_n g_n\phi^n$$

son locales, lo que significa que todo el campo de las interacciones que se producen en un único punto en el espacio-tiempo. Esta es una manera sencilla de asegurarse de que las interacciones no proceder de manera diferente cuando se ve desde diferentes marcos de referencia. Así que no hay problema con la integración de los términos de interacción, sobre todo de espacio.

Answer 2

Estás confundiendo los conceptos de "interacciones" y "nonlocality". En realista campo de las teorías, incluyendo todas las teorías que ha utilizado alguna vez para el estudio de los fenómenos del mundo que nos rodea, las interacciones que existen pero que mantienen la física local.

Como David mencionado, la densidad Lagrangiana toma la forma $${\mathcal L} = \sum_i \left[ (\partial_\mu \phi_i)^2 + m^2 \phi_i^2 \right] + O(\phi^{3+n})$$ La suma de $i$ de los términos bilineal en $\phi$ o de sus primeras derivadas produce las partículas libres. Pero el mayor orden de los términos - que yo sólo escribió bajo el $O$ símbolo - que son cúbicos, el cuarto grado, o incluso de órdenes superiores - son responsables de todas las interacciones.

En particular, la interacción electromagnética entre dos objetos cargados se reduce a común de la interacción con el campo electromagnético a través de la interacción $${\mathcal L_{em}} = j_\mu A^\mu$$ donde $j_\mu$ es el 4-vector incluyendo la densidad de carga y el flujo. Porque de este término local en un punto, el campo electromagnético es perturbado por la primera carga. El campo electromagnético $A^\mu$ sigue propagando a otro cargo de partículas, como si fuera un campo libre, y, a continuación, los locales término de interacción del tipo de "clics" de nuevo y hace que la segunda partícula acelerar de acuerdo a la primera posición de la partícula y de la carga.

Esta descripción está especialmente optimizado para la teoría cuántica de campos, donde el fotón es el llamado virtual de partícula o de un mensajero de la interacción. Sin embargo, incluso en el clásico de la teoría de campo, se puede hacer uso de un lenguaje similar. Incluso el Lagrangiano de un campo clásicos de la teoría que describe las interacciones electromagnéticas involucrando a cargo de la materia tiene un local del formulario.

Como tengo entendido, lo que se propone es que habría bilocal o de otro modo no local en el Lagrangiano $$L = \int d^{d-1} x\,{\mathcal L}_{local} + \int d^{d-1} x\, d^{d-1} y\, F(x) G(y)$$ que sería directamente atraer o repeler algunas densidades $F,G$ que existen en cualquier par de puntos de $x,y$, ¿verdad? Esto nunca funciona en la teoría del campo en el nivel fundamental. El Lagrangiano de arriba no es local - no es una integral de una densidad tan campos en el punto de $x$ sería inmediatamente influenciados por los campos en cualquier otro punto de $y$. Esto violaría la localidad - una acción a distancia - y eso contradice la relatividad porque cuando se combina con el principio de la relatividad, una violación de la localidad, también significa una violación de la causalidad (la regla de que la causa debe preceder a sus efectos).

Sin embargo, la bilocal de Lagrange anterior puede ser "aproximadamente" derivada " por "integrar el campo electromagnético". No puedo explicar exactamente lo que significa, sobre todo porque este término es sólo el estándar de la mecánica cuántica (en la física clásica, que corresponde a la "solución de $A_\mu$, lejos de las ecuaciones"). Sin embargo, permítanme decir que la conclusión. El bilocal términos de interacción entre dos cargas usted está pensando en que puede ser "aproximadamente", deriva de la totalmente local de Lagrange empecé con.

Debido a que la relatividad especial es un hecho bien establecido acerca de la realidad y nunca hemos observado ninguna "acción a distancia" - o de las interacciones entre dos cuerpos separados se producen debido a un "mensajero" que tiene que moverse a lo largo de un camino que conecta los dos objetos - todos los Lagrangians de campo teorías que nunca estudio se escriben como las integrales de una densidad Lagrangiana. Esta característica se llama "localidad".