Para los conceptos relacionados con la geometría algebraica cuando la base no es un campo, puede ser difícil para un principiante conciliar el enfoque de Silverman con el enfoque mediante esquemas. Como estudiante, perdí mucho tiempo intentando relacionar la definición de "3 puntos a través de una línea" de la ley de grupos sobre campos con el concepto de "reducción mod $p$ " en los puntos. Del mismo modo, el enfoque con grupos formales tiende a hacer las cosas confusas, a pesar de su aparente "concreción".
Este tipo de cosas me volvían loco cuando era estudiante, hasta que me di cuenta de que la mejor manera de entender estos temas es dejar de trabajar sobre campos y con ecuaciones, y trabajar sobre el anillo de valoración y con puntos de vista funcionales (sólo traduciendo al lenguaje de campos al final). Los esquemas relevantes en la pregunta son realmente esquemas de torsión sobre el anillo de valoración, no de torsión en las fibras separadas (por lo que quieres decir que asumes $E$ tiene una buena reducción en ambas cuestiones). A continuación me refiero a esto. La siguiente respuesta es demasiado larga, ya que no conozco una referencia adecuada que no implique EGA/SGA. El artículo de Tate sobre esquemas de grupos planos finitos probablemente explique algunos aspectos, pero dudo que aborde la relación con lo concreto de las curvas elípticas.
Si $R$ es un anillo local, entonces una "curva elíptica sobre $R$ "puede definirse de dos formas: la forma concreta es como un plano cúbico de Weierstrass con discriminante unitario, y la forma correcta es como una $R$ -con fibras geométricamente conectadas de dimensión 1 y género 1 y una sección distinguida. Como es habitual, la forma concreta es difícil de utilizar para demostrar realmente algo interesante (y es la noción "incorrecta" cuando la base es no local y especialmente tiene haces de líneas no triviales; por ejemplo, sobre campos numéricos adecuados con número de clase $> 1$ se pueden hacer curvas elípticas CM con "everywhere good reduction" que no admiten un modelo planar global con discriminante unitario). Cómo demostrar que existe una única $R$ -¿estructura de grupo con la sección indicada como identidad? Una verdadera pesadilla con la definición concreta, y elegantemente explicada en el capítulo 2 de Katz-Mazur con la definición correcta. Igualmente, que $E$ es functorial en su fibra genérica cuando $R$ es un anillo de valoración discreto es un lío para demostrarlo a mano (¿qué aperturas afines utilizar?), pero tiene una demostración elegante cuando se aborda a través del punto de vista "suave y propio". Por supuesto, es importante e interesante que estas nociones concretas y abstractas coincidan, y eso se explica en el capítulo 2 de Katz-Mazur.
Dicho esto, si $E$ es una curva elíptica sobre cualquier esquema noeteriano (digamos) $S$ y $[n]_E:E \rightarrow E$ es la multiplicación por un entero positivo $n$ entonces en las fibras geométricas este es un mapa plano finito, por lo que $[n]$ es cuasi-finito. Ahora los mapas propios y cuasi-finitos son finitos (por el Teorema Principal de Zariski), por lo que $[n]_E$ es un mapa finito, y el criterio de planitud fibral implica que también es plano. Al ser un mapa plano finito entre esquemas noeterianos, tiene un "grado" que es localmente constante en el objetivo y sin embargo es $n^2$ en fibras sobre $S$ . Por lo tanto, concluimos que $E[n] := {\rm{ker}}([n]_E)$ es un plano finito conmutativo $S$ -con rango de fibra constante $n^2$ . Sinceramente, no conozco ninguna forma de demostrar esto que evite los graves resultados que acabo de citar. Pero por eso los teoremas son útiles: porque podemos utilizarlos para que nuestra intuición sobre los campos se traslade a los casos en que la base no es un campo. (La condición noetheriana puede eliminarse si somos más cuidadosos con la frase "plano finito". No me detendré en ello aquí). Esto responde a la primera parte de la segunda pregunta (tomando la base como espectro del anillo de valoración). En la notación de allí, el $p$ -de la curva elíptica sobre $K$ no es un finito $R$ -y en general puede extenderse a un plano finito $R$ -grupo de muchas maneras. Pero la curva elíptica sobre $K$ se extiende de forma única a uno sobre $R$ por la teoría de los modelos Neron, y sus niveles de torsión proporcionan los grupos planos finitos "correctos" que se quieren utilizar sobre el anillo de valoración.
Bien, ahora supongamos que $R$ es un anillo noetheriano local completo (por ejemplo, un anillo de valoración discreto completo). Podría incluso suponer que es un anillo local henseliano, pero el caso completo es más fácil de tratar y cubre el caso de la pregunta. Sea $G$ sea un plano finito $R$ -grupo, siendo un caso de interés $E[n]$ para una curva elíptica $E$ en $R$ . Dejemos que $k$ sea el campo de los residuos, y considere $G_k$ . Siendo un finito $k$ -tiene un componente de identidad abierto y cerrado $G_k^0$ que es cortado por un idempotente. Según 8.15 (o más o menos) de la Teoría de Anillos Conmutativos de Matsumura, todo idempotente en la fibra especial de un anillo finito $R$ -álgebra se eleva de forma única. En particular, si $X$ es un finito $R$ -entonces su descomposición de componentes conectados eleva de forma única la de $X_k$ . Si $X$ es $R$ -plana entonces también lo es cada una de sus componentes conectadas. Todo esto es compatible con los productos, por lo que si $X$ tiene una estructura de $R$ -entonces el componente conectado abierto y cerrado $X^0$ que contiene la sección de identidad es un $R$ -subgrupo. Volviendo a nuestro amigo $G$ obtenemos el llamado "componente de identidad relativa" $G^0$ un plano abierto y cerrado (por lo tanto, un plano finito) $R$ -subgrupo.
Observación: La formación de $G^0$ conmuta con cualquier extensión local plana en $R$ como se desprende de la singularidad. No suele conmutar con la extensión no local, como la inclusión de un dvr completo en su campo de fracción.
Ejemplo: $G = E[n]$ . Supongamos que $R$ es un anillo de valoración discreto completo con campo de fracción $K$ y $n \in K^{\times}$ . ¿Qué es? $(G^0)_K$ ? Bueno, cada "punto" ocurre sobre una extensión finita $K'/K$ , digamos que con anillo de valoración $R'$ y $G(K') = G(R')$ por consideraciones elementales de integralidad (o en términos elegantes, criterio valorativo, que es matar una mosca con un mazo). Dado que el espectro de $R'$ es conectado un punto en $G(R')$ se encuentra en $G^0(R')$ si y sólo si su especialización en $G_k(k')$ se desvanece ( $k'$ el campo de residuos de $R'$ ). En otras palabras, $(G^0)(\overline{K})$ consiste en el $n$ -puntos geométricos de torsión de $E_K$ cuya especialización en puntos geométricos de $E_k$ por criterio valorativo para el $R$ -propiamente $E$ ( $E_K(K') = E(R') \rightarrow E(k') = E_k(k')$ ) es 0.
Ahora tenemos que explicar el "cociente etale" en términos concretos. Esto se entiende mejor como una generalización del siguiente procedimiento sobre un campo.
Ejemplo: Sea $k$ sea un campo y $A_0$ un finito $k$ -de la álgebra. Existe un único \'etale maximal $k$ -subálgebra $A_0'$ en $A_0$ : concretamente, en cada anillo factorial local de $A_0$ levantan de forma única el cierre separable de $k$ en el campo de residuos hasta el anillo factorial local mediante el lema de Hensel y el teorema del elemento primitivo. Dado que se caracteriza de forma única por el levantamiento de cierres separables de $k$ en los campos de residuos de los anillos de factores, es un buen ejercicio comprobar la siguiente cosa crucial: si $B_0$ es otro finito $k$ -entonces $(A_0 \otimes_k B_0)' = A_0' \otimes_k B_0'$ y $A_0'$ es funcional en $A_0$ . Observe que $A_0' \rightarrow A_0$ es fielmente plana ya que a nivel de anillos de factores de $A_0$ es una inclusión de un campo en un anillo no nulo. Obsérvese también que cualquier \'etale $k$ -equipada con un mapa a $A_0$ factores únicos a través de $A_0'$ .
Ejercicio: La formación de $A_0'$ conmuta con cualquier extensión de campo en $k$ . (Sugerencia: utilice el descenso de Galois para reducir a los casos separados de extensiones algebraicas separables y al caso fácil $k = k_s$ .)
En términos geométricos, para un $k$ -sistema $X_0$ el Ejemplo anterior construye un \'etale finito $k$ -sistema $X_0'$ y un fielmente plano $k$ -mapa $f_0:X_0 \rightarrow X_0'$ que es inicial entre todos los $k$ -mapas de $X_0$ a finito \'etale $k$ -y su formación es functoria en $X_0$ y conmuta con productos en $X_0$ y con cualquier extensión en $k$ . En particular, si $X_0$ es un $k$ -grupo entonces $X_0'$ tiene un único $k$ -estructura de grupo que hace $f_0:X_0 \rightarrow X_0'$ a $k$ -homorfismo.
Ejemplo: Ahora dejemos que $R$ sea un anillo de valoración discreto completo con campo de residuos $k$ y que $X$ sea un plano finito $R$ -esquema. (Puede relajar la hipótesis sobre $R$ si se está familiarizado con los mapas finitos \'etale en general). En este entorno, "finite 'etale" sobre $R$ sólo significa "producto de extensiones finitas finitamente ramificadas". Utilizando el lema de Hensel en locales finitos $R$ -para dar un mapa desde una álgebra finita $R$ -Álgebra $A$ a un finito $R$ -Álgebra $B$ es lo mismo que dar un mapa $A_0 \rightarrow B_0$ entre sus fibras especiales. En particular, las fibras finitas \'etale $k$ -de forma única y funcional a las álgebras finitas. $R$ -y por lo tanto $X_0'$ se eleva de forma única a un \'etale finito $R$ -sistema $X'$ y hay un único $R$ -mapa $f:X \rightarrow X'$ elevando $f_0:X_0 \rightarrow X_0'$ . Por la planitud fibral (utilizando $X$ es $R$ -(¡plano!), $f$ es fielmente plana ya que $f_0$ es. Por la singularidad de todo lo que está a la vista, la formación de $f$ con los productos y la extensión local en $R$ y también es functorial en $X$ . En particular, si $G$ es un plano finito $R$ -grupo entonces $G'$ admite un único $R$ -estructura de grupo que hace $f$ un $R$ -homorfismo. Llamamos $G'$ el cociente maximal \'etale de $G$ .
Ahora podemos juntarlo todo y obtener la secuencia conectada-etálica:
Propuesta: Sea $G$ sea un esquema de grupo plano finito sobre un anillo de valoración discreto completo $R$ . (Incluso está bien para los noetherianos locales completos $R$ o incluso el local henseliano $R$ .) El fielmente plano $R$ -homorfismo $f:G \rightarrow G'$ al cociente maximal \'etale tiene núcleo teórico del esquema $G^0$ .
Prueba: El núcleo $H = \ker f$ es un plano finito $R$ -grupo. Para mostrar que contiene $G^0$ tenemos que comprobar que el mapa compuesto $G^0 \rightarrow G \rightarrow G'$ desaparece. Siendo un mapa de un finito $R$ -sistema a un \'etale finito $R$ -el mapa viene determinado por lo que hace en la fibra especial, por lo que basta con demostrar que $G_k^0 \rightarrow G_0'$ desaparece. Se trata de un mapa desde un infinitsimal finito $k$ -sistema a un \'etale finito $k$ -que lleva el único $k$ -al punto de identidad. Por lo tanto, es un factor a través de la sección de identidad de $G_0'$ que está abierto y cerrado desde $G_0'$ es etale finito sobre $k$ .
Ahora que $H$ contiene $G^0$ , para demostrar la inmersión cerrada resultante $G^0 \hookrightarrow H$ entre el plano finito $R$ -es un isomorfismo basta con hacerlo en fibras especiales. Pero eso nos reduce a la variante de nuestro problema sobre el campo de residuos. Podemos aumentarlo para que sea algebraicamente cerrado, y entonces el problema es demostrar que si $G$ es un esquema de grupo plano finito sobre un campo algebraicamente cerrado $k$ entonces $G \rightarrow G'$ tiene el núcleo exactamente $G^0$ . Pero $G'$ es una constante $k$ -esquema ya que es etale y $k$ es algebraicamente cerrado, por lo que por construcción $G'$ es simplemente la unión disjunta de los $k$ -puntos de las componentes conectadas de $G$ . Entonces es físicamente obvio que el núcleo es $G^0$ . QED
Observación: Si $X$ es cualquier plano finito $R$ -esquema, con $X \rightarrow X'$ el mapa inicial a un \'etale finito $R$ -entonces el mapa inducido en $\overline{k}$ -puntos es biyectiva. De hecho, podemos pasar a fibras especiales geométricas y componentes conectadas para reducir al caso cuando $X$ es localmente finito sobre un campo algebraicamente cerrado (en lugar de $R$ ), en cuyo caso la afirmación es clara.
Por esta Observación, los puntos geométricos de la $n$ -torsión en $E_k$ se identifican con los puntos geométricos de la fibra especial del cociente etale máximo $E[n]'$ . En particular, si $n$ no es divisible por la característica de $K$ y si $K'/K$ es una extensión separable finita suficientemente grande que divide $E_K[n]$ entonces el etale finito $R'$ -sistema $E[n]'_{R'}$ es constante (ya que se puede comprobar en $K'$ -fibra), por lo que el mapa $$E _K[n] (\overline{K}) = E _K[n] (K') = E[n] (R') \rightarrow E[n]' (k') \hookrightarrow E _k[n]' (\overline{k}) = E[n]'(R') = E[n]' (\overline{K})$$ se identifica con el mapa ingenuo de la pregunta 1. En otras palabras, ese paso calcula la parte "cociente" de la secuencia conectada-etálica de $E[n]$ después de pasar a $\overline{K}$ -¡puntos!
Ejemplo: Si $E$ tiene una reducción supersingular, entonces $E[p] = E[p]^0$ y la parte etale de la secuencia para $E[p]$ desaparece.
Ejemplo: Si $E$ tiene una reducción ordinaria, entonces trabajando sobre un cierre algebraico del campo de residuos se demuestra que $E[p]^0$ y $E[p]'$ cada uno tiene un rango $p$ como plano finito $R$ -grupos.
Por último, queda por relacionar $E[n]^0$ a $n$ -en el llamado "grupo formal" de $E$ ( no el grupo formal de $E_K$ que pierde el contacto con la estructura integral y para ${\rm{char}} (K) = 0$ es en realidad el grupo aditivo formal que no tiene ninguna $n$ -torsión). Un momento de reflexión sobre la definición del grupo formal en Silverman muestra que su $R'$ -para cualquier extensión del anillo de valoración local finito de $R$ son precisamente los locales $R'$ -puntos del anillo local completo $\widehat{\mathcal{O}}_{E,0_k}$ en el origen de la fibra especial (o la terminación a lo largo de la sección de identidad, viene a ser lo mismo ya que $R$ es completa). Por las propiedades universales de los anillos locales sobre los esquemas y las terminaciones de los anillos locales noetherianos, tal $R'$ -los puntos de este último tipo son simplemente puntos en $E(R')$ especializándose en $0_k$ en $E_k (k')$ . Pero ya hemos visto que $E[n]^0 (R')$ es exactamente el conjunto de puntos en $E[n] (R')$ especializándose en $0_k$ en $E_k$ . Así que, efectivamente $E[n]^0 (R')$ dentro de $E[n] (R') = E_K[n] (K')$ es exactamente el $n$ -torsión en el $K'$ -puntos del "grupo formal" en el sentido del libro de Silverman.
Voilà, así que eso responde a las preguntas. Los argumentos utilizados están diseñados para aplicarse igualmente a las variedades abelianas.
