Convergen en el problema del movimiento browniano

Question

Considere la siguiente secuencia de SDEs:

$dX^n_t = \sin(nX^n_t)dt + dW_t, X^n_0 = 0\,\,\,$

Mostrar que el % de soluciones $X^n$converge en distribución dimensional finito a movimiento browniano.

Me han estado trabajando en esto durante mucho tiempo y no llegar a ninguna parte. Cualquier ayuda sería apreciada. Gracias.

Answer 1

Seguramente no es un examen de prueba, lo que va a venir.

Vamos a utilizar el Teorema 5.4.1 de Ethier y Kurtz, Procesos de Markov, Wiley, 1986 (EK86); la parte importante es que se cita a continuación. Primero vamos a escribir el generador de $A_n$ del proceso de $X^{(n)}$ \begin{equation} A_n f(x) = \sin (nx) f'(x) + \frac{1}{2} f''(x) , x \in \mathbb{R}. \end{equation} El límite esperado proceso, el movimiento Browniano, ha generador $A f(x) = \frac{1}{2}f''(x)$, $x \in \mathbb{R}$. De ambas definiciones se entiende por funciones de $f \in C_c^\infty(\mathbb{R})$, el compacto compatible, infinitamente a menudo funciones diferenciables en $\mathbb{R}$.

Lema 1: La secuencia de $\{X^{(n)}_t)_{t\geq 0} : n \in \mathbb{N}\}$ es apretado en el Skorohod espacio de $D([0,\infty), \mathbb{R})$.

Lema 2: Para cualquier $f \in C_c^\infty(\mathbb{R})$ nos encontramos con una función de $f_n$ tal que \begin{equation} \| f_n - f\|_\infty \to 0, \qquad \| A_n f_n - A f \|_\infty \to 0 \end{equation} como $n \to \infty$.

La prueba de su afirmación : Vamos a $Y=(Y_t)_{t\geq 0}$ ser un punto límite de la secuencia de $\{X^{(n)}_t)_{t\geq 0} : n \in \mathbb{N}\}$ que existe por el Lema 1. Luego Lema 2 (en combinación con el Teorema 5.4.1 en EK86) nos dice que $Y$ resuelve la martingala problema relacionado con el generador de $A$. Eso significa que $Y$ es un movimiento Browniano. Ya que esto es válido para cualquier punto límite $Y$, sabemos que $\{X^{(n)}_t)_{t\geq 0} : n \in \mathbb{N}\}$ converge débilmente en Skorohod espacio para el movimiento Browniano. Esto implica converge en las distribuciones finito dimensionales por el Teorema de 3.7.5 en EK86.

La prueba del Lema 2: Fix $f \in C_c^2(\mathbb{R})$ y dejar $a := \inf \text{supp } f$, $A:= \sup \text{supp } f$ tal que $f(x) = 0$ todos los $x \not \in [a,A]$. \begin{equation} f_n (x) := f(x) - 2\int_a^x \exp (2n^{-1} \cos (ny) ) \left(-C + \int_a^y \exp(-2n^{-1}\cos(nz)) \sin(nz) f'(z) d z \right) . \end{equation} Aquí $C = C(n) = \int_a^A \exp(-2n^{-1}\cos(nz)) \sin(nz)f'(z) d z$.

Es fácil ver que $A_n f_n(x) - Af(x) = 0$ cualquier $x \in \mathbb{R}$. Así que nos quedamos con la verificación de $\sup_{x} | f_n(x) -f(x)| \to 0$$n\to \infty$. Tenga en cuenta que desde $1-(2/n) \leq \exp(-n^{-1} \xi) \leq 1+(4/n)$ para cualquier $\xi \in [-2,2]$, $n \geq 4$ tenemos \begin{align} \int_a^y & \exp(-2n^{-1}\cos(nz)) 2\sin(nz) f'(z) d z \\ & = - \int_a^y \exp(-2n^{-1}\cos(nz)) f''(z) dz + f'(y) \exp(-2n^{-1}\cos(ny)) - f'(a) \exp(-2n^{-1}) \\ & = -\int_a^y f''(z) dz + f'(y) - f'(a) + \mathcal{O}\left(n^{-1} \|f''\|_\infty + n^{-1} \|f'\|_\infty \right) \\ & = \mathcal{O}\left(n^{-1} \|f''\|_\infty + n^{-1} \|f'\|_\infty \right) \end{align} para cualquier $y \in \mathbb{R}$. Esto permite decir que para $x \in [a,A]$: \begin{align} f(x) - f_n(x) & = 2\int_a^x \exp(-n^{-1}\cos (ny)) dy \ \cdot \mathcal{O}\left(n^{-1} \|f''\|_\infty + n^{-1} \|f'\|_\infty \right) \\ & \leq 4 |A-a| \cdot \mathcal{O}\left(n^{-1} \|f''\|_\infty + n^{-1} \|f'\|_\infty \right) \to 0 \end{align} como $n \to \infty$. Si no estamos en el intervalo de apoyo, es decir,$x \not \in [a,A]$, entonces tenemos para $x \geq A$: \begin{align} f(x) -f_n(x) &= -f_n(x) = 2\int_a^x \exp (2n^{-1} \cos (ny) ) \left(-C + \int_a^y \exp(-2n^{-1}\cos(nz)) \sin(nz) f'(z) d z \right) \\ & = |A-a| \cdot \mathcal{O}\left(n^{-1} \|f''\|_\infty + n^{-1} \|f'\|_\infty \right) \\ & \qquad + 2\int_A^x \exp (2n^{-1} \cos (ny) ) \left( -C + \int_a^A \cdots dz + \int_A^y \cdots dz \right) \, . \end{align} El primer término se desvanece como antes uniformemente en $x$, lo cual nos deja con los términos de la última línea. Por definición de $C$ estamos sólo a la izquierda con el último término es igual a cero de todos modos, ya no estamos en el apoyo de $f$ más. Una similar, incluso más fácil de razonamiento se aplica para $x <a$. Las líneas anteriores incluyen diciendo que $f_n$ es un almacén de función.

La prueba del Lema 1: Uso de la Observación 5.4.2 en EK86 que requiere condiciones estándar en $A$ que se cumplen aquí y el pacto de contención de la condición de $\{X^{(n)}_t)_{t\geq 0} : n \in \mathbb{N}\}$. Para el compacto de contención de la condición de mantener definir dos procesos $Z^{i}$, $i = -1, 1$ la solución de $dZ_t^i = i\ dt + dB_t$. Entonces el Teorema de 5.2.18 en Karatzas y Shreve, el Movimiento Browniano y el Cálculo Estocástico, 1991 permite decir que podemos construir espacios de probabilidad $(\Omega^n,\mathcal{A}^n,P^n)$ tal que $Z_t^{-1} \leq X_t^n \leq Z_t^1$ para todos los $t \geq 0$ $P^n$ casi seguramente para todos los $n \in \mathbb{N}$.

Teorema 5.4.1 en EK86

Deje $A \subset C_b(\mathbb{R}) \times C_b(\mathbb{R})$$A_n \subset \mathbb{B}_b(\mathbb{R}) \times \mathbb{B}_b(\mathbb{R})$, el acotado medible funciones, $n \in \mathbb{N}$. Supongamos que para cada una de las $(f,g) \in A$ hay un $(f_n,g_n) \in A_n$ tal que \begin{equation} \| f_n -f \| \to 0, \quad \| g_n -g\| \to 0. \end{equation} Si para cada $n\in \mathbb{N}$, $X^{(n)}$ es una solución de la $A_n$ martingala problema con las rutas de acceso en el Skorohod espacio y $X_n \Rightarrow X$, $X$ es una solución para la $A$-martingala problema.

Nota: Los autores de EK86 prefieren referirse a un generador de $A: D(A) \to \mathbb{B}_b(E)$ por su gráfica $\{(f,Af): f \in D(A) \} \subset (\mathbb{B}_b(E),\mathbb{B}_b(E))$.