Cómo demostrar que si $2^n-1=a\cdot b$ entonces $a+b\neq 2^m$

Question

No he encontrado ninguna solución para la siguiente ecuación diofantina:

para $n=2k-1$ y $a,b\in \{2,3,4,...\}$ y $m\in \mathbb{N}$ $$if\ \ 2^n-1=a\cdot b,\ \ then\ \ a+b\neq 2^m$$

Me gustaría demostrar que no hay soluciones, pero no tengo ni idea de cómo.

Answer 1

Porque suponemos que $a,b>1$ se deduce que $2^n=1+ab>a+b=2^m$ . Por lo tanto, $n>m$ , y $1<a<2^m-1$ . Utilizando $b=2^m-a$ da $$ 2^n=1+ab=1+a(2^m-a)=1-a^2+2^ma. $$ Reduciendo este módulo $2^m$ da $$ a^2-1\equiv0\pmod{2^m}. $$ Es bien conocido que las soluciones de $x^2\equiv1\pmod{2^m}$ son las clases de residuos de $1,2^m-1$ y $2^{m-1}\pm1$ modulo $2^m$ . Los dos primeros fueron excluidos, por lo que debemos tener $\{a,b\}=\{2^{m-1}\pm1\}$ .

Pero entonces $$ 2^n=1+ab=1+(2^{m-1}-1)(2^{m-1}+1)=1+2^{2(m-1)}-1=2^{2(m-1)} $$ violando la suposición de que $n$ debe ser impar.