Como he entendido, lo que he aprendido es que el producto escalar es sólo uno de muchos posibles producto interior de los espacios. Puede alguien explicar este concepto? Cuando es útil definir como algo más que el producto escalar?
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Pete
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En cuanto a la utilidad del producto interior espacios: son espacios vectoriales donde nociones como la longitud de un vector y el ángulo entre dos vectores están disponibles. De esta manera, generalizan $\mathbb R^n$ pero conservar parte de su estructura adicional que viene en la parte superior de un espacio vectorial. Amigos familiares como de Cauchy-Schwarz, la regla del paralelogramo, y ortogonalidad todo el trabajo en el producto interior de los espacios.
(Tenga en cuenta que hay una clase más general de los espacios, la normativa de los espacios, donde las nociones de tiempo, sentido de siempre, sino una interna del producto no necesariamente pueden ser definidos).
El producto escalar es la norma interna del producto en $\mathbb R^n$. En general, cualquier simétrica positiva definida la matriz le dará un producto interior en $\mathbb C^n$. Y usted puede tener interno de productos en infinitas dimensiones espacios vectoriales, como
$$ \langle \, f, \, g \, \rangle = \int_a^b \ f(x)\overline{g(x)} \, dx$$
para $f, g$ cuadrado integrable funciones en $[a,b]$.
Esto resulta útil, por ejemplo, en aplicaciones como la serie de Fourier en el que desea una base de funciones ortonormales para alguna función en el espacio (no sólo las funciones trigonométricas que trabajo).
doekman
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5187
Un producto interior el espacio es un espacio vectorial para que el producto interior está definido. El producto interior es también conocido como el "producto escalar" para 2D o 3D en el espacio Euclidiano. Un número arbitrario de interior de los productos que pueden ser definidos de acuerdo a tres reglas, aunque la mayoría son mucho menos intuitivo/práctico de la distancia Euclídea (dot) de producto.
Nota al margen:
Puede parecer un poco esotérico, sino como un físico de la aplicación evidente de producto interior los espacios de Hilbert espacios utilizados en la mecánica cuántica. El producto interior de un eigenfunction con una función de onda en el espacio de Hilbert da la correspondiente autovalor.
Vilid
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Un interior de producir el espacio es una coyuntura de un espacio vectorial con una operación (y por lo tanto es un par ordenado que consiste en el par para el espacio vectorial $(\mathbb V, \mathbb F)$, y la operación (generalmente denotado$ \langle,\rangle $). Así que esto sería como $((V,F),\langle,\rangle)$. Obviamente hay estructura en $\mathbb V$, e $\mathbb F$, e$ (\mathbb V, \mathbb F)$ consistente con un espacio vectorial (vector de la multiplicación; la multiplicación escalar; vector-la multiplicación escalar; y vectoriales y escalares suma). El producto interior es entonces una función (con $\mathbb V$ el conjunto de vectores, y $\mathbb F$ el conjunto de escalares): $$ \langle,\rangle:\mathbb V \to \mathbb F $$ donde la notación $\langle\vec a , \vec b\rangle = c$ significa que el producto de a y b(en $\mathbb V$) reutrns el valor de C en $\mathbb F$.
hay entonces un conjunto de propiedades para el producto que debe cumplir (en orden para que el producto de espacio para tener los resultados que son consistentes y útiles):
Voy a dejar caer el vector de notación por encima de los elementos ya que se debe tener claro que cualquier cosa en el producto desde el espacio vectorial, y cualquier resultado es un escalar del campo. $$ \langle a,b\rangle = \overline {\langle b,a\rangle} $$ es decir, que el complejo conjugado de $\langle a,b\rangle$$\langle b, a\rangle$. en los números reales, esto es, simplemente,$\langle a,b\rangle = \langle b,a\rangle$.
El primer argumento también debe ser lineal, es decir, (con $x$ un escalar): $$ \langle xa+y,b\rangle = \langle xa,b\rangle + \langle y,b\rangle $$
Y, por último, una relación con alguna norma en el interior del espacio del producto: $$ \langle x,x\rangle \geq 0 $$ Es decir, una norma que siempre se puede ser definido en términos del producto interior: $ ||x||$ = $\sqrt{\langle x,x\rangle}$
Esta norma existente a partir de la definición de producto escalar, y la existencia de un producto interior espacio demuestra que siempre hay una norma en el interior del espacio del producto (el definido por la raíz cuadrada del producto interior.
El ejemplo más sencillo que no sean un punto del producto es, probablemente, el producto interior de dos funciones mediante la integración, que devuelve un valor en la escalares presentada en la que se definen para ser vectores (que ya ha sido mencionado anteriormente).
