Número de soluciones $(x_1)(x_2)(x_3)(x_4) = 2016$

Question

Teniendo algunos problemas para envolver mi cabeza alrededor de este:

encontrar el número de soluciones de la ecuación de $(x_1)(x_2)(x_3)(x_4) = 2016$ donde $(x_i)$s son enteros que no son necesariamente positivos.

Esto es lo que he estado pensando hasta ahora:

Vamos a traer a $2016$, hasta llegar a su primer factorizados forma, de tal manera que tenemos $2016 = 2^5\times3^2\times7^1$.

Debido a que la solución puede incluir números enteros negativos, tenga en cuenta que un par o 4 números enteros se forman los números positivos, por lo tanto, tenemos $C(4,2)$ O $C(4,4)$ maneras de hacer esto.

Vamos también nota de que la solución puede incluir 1s en $3, 2, 1$ o $0$ posiciones para $(x_i)$, de tal manera que tenemos $C(4,3), C(4,2), C(4,1)$ o $C(4,0)$.

Ahora estoy pensando que deberíamos considerar cada elemento particular de la descomposición en factores primos, de tal manera que tenemos los elementos $2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 7$ que no son completamente distintas. Ahora debemos pensar en el número de maneras en que podemos rellenar $8$ elementos en cada uno de estos $1, 2, 3$ o $4$ posiciones dependiendo del número de 1s tenemos.

Y aquí es donde yo estoy teniendo un poco de problemas para pensar a través de la solución. Estoy pensando que yo pudiera ver el número de los distintos números enteros que se podía conformar con $2^5\times3^2\times7^1$ y luego ir de allí? Pero estoy teniendo problemas para pensar a través de esta metodología así.

Los pensamientos?

Answer 1

Voy a suponer que usted desea que el número de ordenadas se cuadruplica $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ tal que $x_1x_2x_3x_4=2016$.

En primer lugar vamos a encontrar el número de ordenadas cuádruples de positivos enteros.

Queremos distribuir el cinco $2$'s entre el $x_1,x_2,x_3,x_4$.

Por las Estrellas y las Barras hay $\binom{5+4-1}{4-1}$ maneras de hacer esto.

Para cada elección necesitamos distribuir los dos $3$'s, y luego el $7$. Voy a suponer que usted sabe ahora cómo completar esta parte. Llame al número resultante $N$.

Para tener en cuenta las posibilidades negativas, podríamos tener todo lo negativo, dando otro $N$ opciones, o dos positivos y dos negativos, dando otro $\binom{4}{2}N$ opciones.

Answer 2

La solución se oculta en el 2 ^ 5 * 3 ^ 2 * 7 tenemos que seleccionar 4 factor cuya multiplicación es 2016

Así que para la selección de factor 4 hay waysways C (8,2)

& tiene a también incluyen no negativos casos