Definición del área bajo una función oscilante

Question

Tenía curiosidad por tomar una integral definida de una función oscilante.

Por ejemplo,

$$\lim_{a\to 0} \int_a^1 \sin \frac1x\,dx$$

Sé que hay un área bajo la función, pero como oscila infinitamente ¿es posible definirla? ¿Se utiliza el límite superior y el límite inferior? Sé que probablemente es posible (de alguna manera) tomar la antiderivada, FTC, etc. pero me pregunto qué significa realmente de forma intuitiva, dado que esta función oscila (por lo que no podemos realmente "ver" el área bajo la función).

Answer 1

Utilizando la sustitución $x\mapsto1/x$ obtenemos $$ \lim_{a\to0^+}\int_a^1\sin\left(\frac1x\right)\,\mathrm{d}x =\int_1^\infty\frac{\sin(x)}{x^2}\,\mathrm{d}x $$ que converge absolutamente ya que $$ \int_1^\infty\frac1{x^2}\,\mathrm{d}x=1 $$ La integral anterior calcula el área por debajo de la curva sobre el $x$ -eje y resta el área por encima de la curva por debajo del $x$ -eje.

Answer 2

Después de la respuesta de robjohn, utilizando funciones especiales $$I=\int \sin\left(\frac 1x\right)~dx=x \sin \left(\frac{1}{x}\right)-\text{Ci}\left(\frac{1}{x}\right)$$ donde aparece la integral del coseno. Entonces, $$J=\int_a^1 \sin\left(\frac 1x\right)~dx=\text{Ci}\left(\frac{1}{a}\right)-a \sin \left(\frac{1}{a}\right)-\text{Ci}(1)+\sin (1)$$ y $$\lim_{a\to0^+}\int_a^1\sin\left(\frac1x\right)\,\mathrm{d}x =\sin (1)-\text{Ci}(1)\approx 0.5040670619$$