Cauchy ' Teorema de residuo s con un número infinito de los postes de

Question

¿Es posible aplicar el teorema del residuo de Cauchy para una función que tiene un número infinito de singularidades aisladas dentro del contorno de la integración (decir un semicírculo cuyo radio va al infinito), con conocido residuos $r_n$, suponiendo que $$\sum_{n=1}^\infty r_n$ $ converge?

Answer 1

En un sentido estricto, el teorema de los residuos sólo se aplica a los delimitada contornos cerrados. Las hipótesis del teorema de los residuos no puede ser cumplida si el contorno contiene una infinidad de singularidades, ya que la unión de todo el contorno y en su interior es compacto, por lo que las singularidades debe tener un punto de acumulación, lo que sería un no-aislado de la singularidad de que ningún residuo puede ser definido.

En un sentido más flojo, el residuo teorema se aplica a veces a unbounded "contornos", por ejemplo, el eje real cerrada por un semi-círculo "en el infinito". Para justificar este rigor, uno define una secuencia de contornos cerrados de manera tal que una parte del contorno "tiende a infinito" y su contribución a la integral puede ser demostrado para ir a $0$, mientras que el resto del contorno o permanece finita o crece tal que el límite de su aportación es una integral impropia, por ejemplo, sobre todo el eje real.

Por lo tanto, nunca estamos realmente tratando con infinita de los contornos. Si tenemos una secuencia de los contornos que "tiende a infinito" y el número de singularidades encierra también se extiende hacia el infinito en el proceso, podemos aplicar el finito versión del teorema de los residuos para cada contorno en la secuencia y, a continuación, la convergencia de la integral de a $\sum_n r_n$ entra en la convergencia argumento de que tiene que ser hecho de todos modos, y no hay argumento especial para aplicar el teorema de los residuos para infinidad de singularidades es necesario.

Para resumir, se puede aplicar el teorema de los residuos para un "infinito" de contorno que encierra infinidad de singularidades, mientras la de la real contornos en la secuencia de justificar este argumento encerrar sólo un número finito de singularidades; de lo contrario usted no tiene una singularidad aislada para que el residuo teorema no se aplica.

Alternativamente, usted puede pensar de los contornos que se extienden hasta el infinito como contornos cerrados en la esfera de Riemann. Desde la esfera de Riemann es compacto, infinitamente muchas singularidades necesariamente tiene un punto de acumulación (que puede ser el punto en el infinito), por lo que en este caso sólo puede haber un número finito de las singularidades de la función de meromorphic sobre y en el interior del contorno.

Answer 2

Sí, el teorema de residuo no supone que el número de polos es finito. , Sin embargo, supone que el número de polos es aislado (y por lo tanto, contables); Si este no es el caso, entonces la función en cuestión no es meromorphic, en cual caso el teorema de residuo no se puede aplicar.