¿Por qué es una línea recta la distancia más corta entre dos puntos?

Question

La primera aplicación que me mostraron del cálculo de variaciones fue demostrar que la distancia más corta entre dos puntos es una línea recta. Define una funcional que mide la longitud de una curva entre dos puntos: $$ I(y) = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + (y')^2}\, dx, $$ aplica la ecuación de Euler-Lagrange, ¡y listo!

Hasta aquí todo bien, pero luego empecé a pensar: Esa funcional fue derivada dividiendo la curva en líneas rectas (infinitesimales) - espera un momento - y sumando sus longitudes, y cada longitud fue definida como la distancia euclidiana entre sus extremos*.

Por lo tanto, me parece que la demostración, aunque correcta, es bastante insignificante. Es una consecuencia obvia de los hechos de que (a) la norma euclidiana satisface la desigualdad triangular y (b) la longitud de una curva se definió como una suma de normas euclidianas.

Poniéndome un poco filosófico, conjecturaría que probar que la distancia más corta entre dos puntos es una línea recta es mirar las cosas de manera equivocada. Quizás una mejor forma sería decir que la geometría euclidiana fue diseñada para conformarse a nuestra experiencia sensorial del mundo físico: la longitud de una cuerda uniendo dos puntos se minimiza al estirar la cuerda, y en ese punto, resulta verse/sentirse recta.

Solamente me pregunto si la gente estaría de acuerdo con esto, y esperando poder obtener algunas perspectivas adicionales o más profundas. Quizás una pregunta interesante para intentar profundizar sería: ¿por qué una cuerda estirada parece y se siente recta?

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*: Para ilustrar mi punto aún más, imagina que hubiéramos elegido definir la longitud de una línea como la distancia de Manhattan entre sus extremos. Podríamos integrar de nuevo, y esta vez resultaría que la longitud de cualquier curva entre dos puntos es la distancia de Manhattan entre esos puntos.

Answer 1

Creo que una forma más fundamental de abordar el problema es discutiendo las curvas geodésicas en la superficie que llamas hogar. Recuerda que la ecuación geodésica, aunque equivalente a la ecuación de Euler-Lagrange, se puede derivar simplemente considerando diferenciales, no extremos de integrales. La ecuación geodésica surge exactamente al encontrar la aceleración, y por lo tanto la fuerza según las leyes de Newton, en coordenadas generalizadas.

Consulta la guía de Schaum "Dinámica Lagrangiana" de Dare A. Wells Capítulo 3, o el problema 10 de la página 181 de "Análisis Vectorial y Tensorial" de Borisenko y Tarapov.

Por lo tanto, al igualar la fuerza a cero, se descubre que la trayectoria es la solución a la ecuación geodésica. Entonces, si definimos que una línea recta es aquella que una partícula sigue cuando no hay fuerzas actuando sobre ella, o mejor aún, que un objeto sin fuerzas toma la ruta más rápida, y por lo tanto más corta, entre dos puntos, entonces voilà, la distancia más corta entre dos puntos es la geodésica; en el espacio euclidiano, una línea recta como la conocemos.

De hecho, en la página 51 Borisenko y Tarapov muestran que si la fuerza es tangente en todo momento a la curva de desplazamiento, entonces la partícula también viajará en línea recta. Nuevamente, incluso si hay una fuerza actuando sobre ella, siempre que la fuerza no tenga una componente perpendicular a la trayectoria, una partícula viajará en línea recta entre dos puntos.

Además, en cuanto a la intuición, esta también es la trayectoria de menor trabajo.

Por lo tanto, si estás de acuerdo con la definición de una derivada en una métrica dada, entonces puedes encontrar las curvas geodésicas entre puntos. Si defines las derivadas de manera diferente, y por lo tanto las transformaciones de coordenadas de manera diferente, entonces es otra historia completamente distinta.

Answer 2

Permíteme empezar diciendo que, en un nivel visceral, estoy de acuerdo con todo lo que dijiste. Pero siento que debería hacer este argumento de todos modos, ya que podría ayudarte (¡y a mí!) a organizar ideas sobre el asunto.

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No parece inconsistente argumentar que el modelo del espacio euclidiano (definido, digamos, por los axiomas de Hilbert) como $\Bbb R^n$ realmente resuelve todas las cuestiones filosóficas. Podemos preguntarnos por qué $\Bbb R$ y demás, pero tomado como un objeto en sí mismo, el producto interno estándar define todo, desde la geometría hasta la topología, pasando por la noción de tamaño.

En esta visión, la integral que mencionaste puede ser tomada como la definición de "longitud" de una curva (en $\Bbb R^2`, creo), observando que coincide con la medida de Lebesgue cuando la curva en cuestión está dada por una transformación afín (aunque esto es formalmente irrelevante). La definición está motivada no por ser desglosada en líneas rectas, sino más bien en vectores, que tienen una definición diferente de longitud (esto no me preocupa mucho: es solo un deseo pensar que usamos el mismo término para cada uno). La noción de una "línea" en sí misma surge como una pregunta bastante natural: ¿cuál es el ínfimo de la longitud entre dos puntos y, en tal caso, hay realmente una curva que lo logra? Una vez que ves que no solo la respuesta es "sí", sino también "y es única", no es demasiado difícil pensar que estos objetos valen la pena agregar a nuestra comprensión básica del espacio.

En cuanto al comentario sobre elegir la distancia de Manhattan: nada te impide hacer esto, pero si prefieres que esta sea tu norma (lo cual bien podría ser, por las razones que describiste anteriormente), entonces pierdes todos los aspectos de la geometría relacionados con los ángulos. También pierdes la unicidad de las curvas de longitud mínima, y tal vez luego pierdas interés en la pregunta. Desde una perspectiva omnisciente, podríamos ver esto como una tragedia, una pérdida aceptable, o incluso como una ganancia. Esta objeción, junto con el comentario de Will Jagy, solo parecen resaltar la flexibilidad que tenemos en términos de qué formalismos utilizar.

Tu otra pregunta, por supuesto, es mucho más difícil de responder, pero creo que una reducción agradable de la pregunta es "¿Qué hace que $\Bbb R^3$ sea el modelo que se sienta más físico?" ¡La pregunta es particularmente interesante a la luz del hecho de que $\Bbb R^3$ ciertamente no es un modelo completo del espacio para la física real! Pero no creo que te tomarían en serio si intentaras argumentar que el universo no es una variedad. Por alguna razón, (subconjuntos abiertos de) $\Bbb R^n$ es localmente "casi correcto".

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Esto es solo hablar por hablar: Podría ser que la razón por la que tenemos tales fuertes intuiciones sobre la rectitud y la distancia se deba a presiones evolutivas. Las personas que podían intuir cómo llegar de un lugar a otro eficientemente no quemarían calorías innecesarias, y en un mundo menos protegido esto podría ayudarles a alcanzar la edad de viabilidad sexual. Una vez que comenzamos a pensar inductivamente, se nos permitiría pensar en la noción de rectitud como algo que va más allá, y como una construcción general en lugar de una característica situacional. Pero para entonces sería demasiado tarde para enderezar la confusión entre rectitud y linealidad, y necesitaríamos esperar mucho tiempo antes de poder hacerlo con rigor.

Answer 3

mi intento usando las ecuaciones de Euler-Lagrange:

$$let \ la \ línea \ entre \ dos \ puntos \ S\\ \\ \\ \therefore s=\int_{x_{1}}^{x_{2}}ds\ \ \ \ \ ,\ \ \porque \ (ds)^2=(dx)^2+(dy)^2\\ \\ \\ \therefore ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}\ dx\\ \\ \\ \therefore S=\int_{x_{1}}^{x_{2}}\sqrt{1+y'^2}\ dx\ \ \ \ \ ,\ \ let\ F=\sqrt{1+y'^2}\\ \\ \\$$

dado que la condición para que S sea mínima es:

$$\frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial y'})=\frac{\partial F}{\partial y}$$ $$**ECUACIÓN DE EULER-LAGRANGE**$$ ahora encontramos $$\\porque \ \frac{\partial F}{\partial y}=0 \ \ \ \ , \frac{\partial F}{\partial y'}=\frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}}\\$$ \

$$\therefore \frac{d}{dx}\left ( \frac{\partial F}{\partial y'} \right )-\frac{\partial F}{\partial Y}=0\ \ \ \ \ \Rightarrow \frac{d}{dx}\left ( \frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}} \right )=0\\$$ \ \ $$\therefore \frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}}=c\ \ \ \ \ \ \Rightarrow y'^2=c^2(1+y'^2)\\ \\ \\ \therefore y'^2(1-c^2)=c^2\ \ \ \ \Rightarrow y'^2=\frac{c^2}{1-c^2}\ \ \ \ \ \ \ , \ \ let\ \ a^2=\frac{c^2}{1-c^2}\\$$

\ $$\therefore y'^2=c^2\ \ \ \ \ \ \Rightarrow y'=\pm c\ \ \ \ \ \ \Rightarrow \frac{dy}{dx}=\pm c\\$$

\$$ \therefore y=\pm x\ +b\$$

y esa es la ecuación de la línea recta

Answer 4

Hay varios problemas aquí:

1. Un error tipográfico en tu ecuación. Tu $y'$ debería estar al cuadrado. Es decir, $y'^2$. (corregido).
2. Nada te impide a ti o a mí usar otras normas. La norma 1 podría tener problemas, ya que necesitamos que las funciones $y$ y el "Lagrangiano" sean continuamente diferenciables dos veces antes de derivar las ecuaciones de Euler-Lagrange.
3. Vamos a suponer que usas una norma $L_4$. Luego defines la longitud de una trayectoria como $\lim_{ | \Delta t | \to 0} \sum \| \Delta \bf{x}_i \|_4$ donde por $\lim | \Delta t |$ me refiero al tamaño de una partición en un intervalo real $[a,b]$ donde la función paramétrica $\bf{x}(\it t)=(x(t),y(t))$ está definida. Luego, usando la misma idea de diferenciales, puedes decir $ds = (dx^4 + dy^4)^{1/4}$ y terminar con otra ecuación $I(y)=\int_A^B (1 + y'^4)^{1/4} dx$. Esto está perfectamente bien. Podrías minimizar esta función de costo, pero si aplicas la ecuación de Euler-Lagrange aquí obtendrías: \begin{equation} \frac{d}{dx} \frac{y'^3}{(1+y'^4)^{1/4}}=0 \end{equation} y entonces $y'^3/(1+y'^4)^{1/4}=\text{constante}\equiv C$. La solución en este caso no es una línea recta. ¿Cuál es el punto? Es un problema de optimización y la solución e interpretación cambian según el tipo de norma y espacio que consideres. Si una distancia en kilómetros se calcula en metros, necesitamos multiplicar por 1000 para compensar el hecho de que la nueva métrica es ahora 1/1000 de la métrica anterior. Un segmento recto en un plano se deforma (se dobla o se estira) al cambiar de la métrica euclidiana a una métrica como $L_4$, para ajustarse a la nueva condición de camino más corto. Hay dos cosas diferentes que cambian la solución del problema. La curvatura del espacio (variedad) que se está utilizando, y la métrica que deseas imponer. Desde la geometría diferencial, el tensor métrico $g_{ij}$ es la métrica natural (riemanniana) para imponer a un espacio curvo y esta métrica genera las geodésicas del sistema. Es decir, los caminos de distancias mínimas en esa métrica. Nuevamente, eres libre de elegir otra métrica, pero entonces esos caminos se deformarán en consecuencia.
4. Ahora, aquí hay una pregunta que no veo que muchas personas (libros, documentos) estén haciendo. Es obvio que estamos buscando un mínimo pero esto debería ser demostrado. Es decir, ¿la función de costo (objetivo) es convexa? En otras palabras, la solución de que el camino más corto entre dos puntos sea recto en $L_2$ norma aquí en un plano es una condición necesaria pero no suficiente para la estacionariedad. Todavía necesitamos demostrar la parte "suficiente" y luego preguntar si el mínimo es un mínimo local o global, si es único. Parece obvio, pero ¿cómo probarlo?
5. Aquí hay un argumento interesante que no requiere restricciones suaves y la sofisticada maquinaria de Euler-Lagrange. Buscamos la longitud del camino más corto $L(A,B)$ entre dos puntos $A$ y $B$. La distancia es una invariante bajo traslaciones y rotaciones (esas son isometrías). Entonces, sin pérdida de generalidad, podemos pensar que $A=(0,0)$ es el origen y $B=(0,\ell)$, donde $\ell$ es la distancia recta entre $A$ y $B$. Luego, la longitud de cualquier segmento entre $A$ y $B$ está dada por \begin{equation} L(A,B) = \int_0^{\ell} \sqrt{1+ y'^2} dx \ge \int_0^{\ell} dx = \ell. \end{equation> ya que $y'^2 \ge 0 $. Entonces $\ell$ es una cota inferior para las longitudes sobre todos los segmentos calificados. Incluso más, la distancia recta es $\ell$, así que $\ell$ es el ínfimo, el mínimo y la distancia más corta. Si eliges una métrica heredada de la norma $L_4$, también obtendrías, haciendo el mismo análisis, que $\ell$ es una cota inferior de todos los caminos calificados entre $A$ y $B, pero esta vez $\ell$ es menor que la posible medida más corta bajo esta nueva métrica. Por lo tanto, las métricas inducidas por la norma $L_n$, $n > 2$, crean caminos más largos más cortos (al menos para $n$ par, ¿qué sucede si $n$ es impar?). Esto tiene sentido en el caso de la esfera, donde un segmento recto es más corto que una geodésica en la esfera.

Es obvio que no hay un límite superior para la distancia. Puedes darme una distancia y siempre puedo encontrar un camino que sea más largo. La pregunta es: ¿tiene la distancia un límite inferior? La respuesta es "sí" ya que la distancia siempre es mayor o igual a cero, por lo que tiene un "ínf". Aún así, si el ínfimo es único, esto no significa que el camino sea único. Piensa en una distancia en una esfera unitaria entre dos antípodas. Hay un número infinito de caminos que satisfacen el camino más corto de longitud $\pi$. En el caso de un camino en un plano podemos usar el postulado de Euclides: Solo hay una línea que pasa por dos puntos. Así que es único. Queda por demostrar: ¿Es el ínfimo la longitud de la línea entre esos dos puntos?

Para una excelente discusión sobre el tema de esta pregunta, por favor consulta: Un curso en Geometría Métrica capítulo 2.