Motivación detrás de la definición de monomorfismo y epimorfismo en la teoría de categorías

Question

Deje $\mathcal{C}$ ser un local pequeño) categoría y deje $X$ $X'$ ser objetos en $\mathcal{C}$.

• (Definición de $1$) decimos que $f\colon X\to X'$ es un monomorphism si por cualquier objeto,$Y$$\mathcal{C}$, el mapa $$\operatorname{Hom}(Y, X)\to \operatorname{Hom}(Y, X')$$ dado por $g\mapsto f\circ g$ es un uno-a-uno de la función.

• (Definición de $1'$) decimos que $f\colon X\to X'$ es un monomorphism si existe $g\colon X'\to X$ tal que $g\circ f=\operatorname{Id}_X$.

Por supuesto, ambas definiciones generalizar uno a uno las funciones de la categoría de conjuntos, pero la Definición de $1$ es el que se utiliza en la literatura. Sin embargo me gustaría saber por qué mi definición, es decir, la Definición de $1'$, no es tan útil como el primero en ser adoptado como el estándar de la forma de definir monomorphisms. Como un interrogante, ¿hay alguna relación entre las dos versiones? Hace una definición implica que el otro?

Supongo Definición $1$ es elegido por Yoneda del lexema.

Del mismo modo se pueden dar las siguientes definiciones para un epimorphism:

• (Definición de $1$) decimos que $f\colon X\to X'$ es un epimorphism si por cualquier objeto,$Y$$\mathcal{C}$, el mapa $$\operatorname{Hom}(X',Y)\to \operatorname{Hom}(X, Y)$$ dado por $g\mapsto g\circ f$ es un uno-a-uno de la función.

• (Definición de $1'$) decimos que $f\colon X\to X'$ es un epimorphism si existe $g\colon X'\to X$ tal que $f\circ g=\operatorname{Id}_{X'}$.

• (Definición de $1''$) decimos que $f\colon X\to X'$ es un epimorphism si por cualquier objeto,$Y$$\mathcal{C}$, el mapa $$\operatorname{Hom}(Y, X)\to \operatorname{Hom}(Y, X')$$ dado por $g\mapsto f\circ g$ es un a función.

Mis preguntas son similares para el caso de monomorphism de categorías. Mi conjetura es que una razón para la elección de la Definición de $1$ como el "derecho" de la definición de un epimorphism es "dualidad".

Cualquier respuesta o comentarios son muy apreciados.

Editar pensé que podría ser una buena idea para incluir dos posibles maneras de definir un isomorfismo con el fin de compararlos.

• (Definición de $1$) decimos que $f\colon X\to X'$ es un isomorfismo si existe $g\colon X'\to X$ tal que $f\circ g=\operatorname{Id}_{X'}$$g\circ f=\operatorname{Id}_X$.

• (Definición de $1'$) decimos que $f\colon X\to X'$ es un isomorfismo si es tanto un monomorphism (en el sentido de la Definición de $1$) y un epimorphism (como en la Definición de $1$).

Answer 1

Si en una categoría $r\circ s={\rm id}$ $r$ es por definición un la retracción y $s$ es por definición una sección. Así que de alguna manera está pregunto: es monomorphism el mismo concepto que la sección y es epimorphism el mismo concepto que la retracción? En categoría $\textbf{Set}$ donde monomorphisms puede ser descrito como inyectiva funciones y epimorphisms como surjective funciones es cierto que una función es surjective iff es una retracción, pero no es cierto que una función es inyectiva iff se trata de una sección. Los 'spoilers' son funciones de $f:\emptyset\rightarrow X'$ donde $X'\neq\emptyset$. Ellos son (vacuously) inyectiva pero no la función $g:X'\rightarrow\emptyset$ existen. En general, las secciones son especiales monomorphisms y retracciones son especiales epimorphisms (ver el comentario de Najib en esta respuesta). A menudo hay clases que son 'entre'. Hay mucho más que decir sobre este tema, pero yo no soy realmente un experto y pensar que hay gente en este sitio que se puede hacer mucho mejor. Esto es sólo mostrando un obstáculo.

Answer 2

Monomorphisms se definen de la manera que son, porque eso es lo que funciona en muchas categorías concretas de interés: $\mathbf{Set}$, $\mathbf{Grp}$, $\mathbf{Ring}$, etc. Incluso $\mathbf{Top}$ es un ejemplo, si usted espera monomorphisms a ser inyectiva continua de los mapas (como, decir, topológico de incrustaciones). Por otra parte, con esta definición, la Yoneda incrustación envía monomorphisms a las componentes inyectiva natural transformaciones, que es tanto como lo que uno puede esperar.

Por contraste, epimorphisms se definen de la manera que son porque queremos que la dualidad. Es cierto que epimorphisms en $\mathbf{Set}$ son surjections. También es cierto que en algunas categorías concretas como $\mathbf{Ab}$$\mathbf{Top}$, pero también es cierto que en otras categorías concretas: por ejemplo, en la categoría de espacios de Hausdorff y continua de los mapas, la epimorphisms son precisamente la continua mapas con imagen densa.

También debo mencionar que una de morfismos es una división epimorphism si y sólo si el Yoneda la incrustación de la envía a una de las componentes surjective transformación natural. De hecho, el "sólo si" la dirección es clara, y si $f : A \to B$ es una de morfismos tal que $$\mathrm{Hom}(T, f) : \mathrm{Hom}(T, A) \to \mathrm{Hom}(T, B)$$ es surjective para cada $T$, y luego tomar las $T = B$, nos encontramos con un morfismos $s : B \to A$ tal que $f \circ s = \mathrm{id}_B$, como se reivindica.

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Adenda. Hay categorías en las que los morfismos que son al mismo tiempo monomorphisms y epimorphisms no son necesariamente isomorphisms. El ejemplo lo más fácil es $\mathbf{Top}$: un mapa continuo que es a la vez inyectiva y surjective no es necesariamente un homeomorphism.