¿Cuál es el significado de la expresión siguiente$C=\frac{\delta Q}{dT}$ matemáticamente?

Question

Nuestro profesor planteó la siguiente pregunta durante la conferencia en la Física Estadística (incluso por lo que es relacionado con la Termodinámica):

Muchos libros de texto (incluso la Wikipedia) escribe mal expresiones (desde el punto de vista matemático) para la Capacidad de Calor Coeficiente, y la manera correcta de wright es la siguiente: $$C=\frac{\delta Q}{dT}.$$ Pero como vemos no es ni habitual diferencial, ni funcional derivado, así que la pregunta ¿qué es esto?

No pude encontrar la respuesta en los libros de matemáticas, y es cierto que muchos libros de texto escribe en formas muy diferentes de mezcla exacta e inexacta diferenciales, así que nadie tiene idea de lo que es la expresión de la derecha por c y por qué desde el punto de vista matemático?

Answer 1

I) El uso de $\delta$ en los derivados

$$C~=~\frac{\delta Q}{dT}$$

es porque en la termodinámica, el calor $Q$ no es una función de estado. En particular, el diferencial de $\delta Q$ es en-exacto.

II) En detalle, la capacidad de calor $C$ no se obtiene por diferenciación de algunos ordinario función wrt. la temperatura de la $T$. Más bien debe ser visto como una relación de

$$C~=~\frac{Q}{\Delta T}$$

donde $\Delta T$ es lo suficientemente pequeño (como se ve desde todos los físicamente relevante a los efectos).

Answer 2

Usted puede tomar la expresión de $C=\frac{\delta Q}{\mathrm dT}$ como el infinitesimal versión de $$C=\frac{Q}{\Delta T}$$ o formal de la reescritura de $$\delta P=C\mathrm dT$$ que, sin embargo, no tiene sentido en el lenguaje de las formas diferenciales como la división por la forma $\mathrm dT$ no está definido.

Vamos a echar un vistazo en el sentido de $\delta Q=C\mathrm dT$ asumiendo formas diferenciales:

Por la segunda ley de la termodinámica, $\delta Q = T\mathrm dS$. El $\delta$ no tiene ningún significado especial, es sólo un recordatorio de que estamos tratando con un diferencial de la forma y no una función (que no puede escribir $\mathrm dQ$ aquí como la forma no es exacta, es decir, no a la diferencial de alguna función de estado $Q$).

Termodinámico de los sistemas son, en general, en menos de dos dimensiones y permiten diferentes opciones de coordenadas, por lo que asumen $S$ es representado por una función de la temperatura y de la otra variable, por ejemplo, $S=S(V,T)$ o $S=S(P,T)$.

La definición de la capacidad de calor desde arriba se supone que $S$ es una función de $T$ solo como la mano derecha no contiene términos con $\mathrm dV$ o $\mathrm dP$. En general, por lo tanto la necesidad de una mayor restricción en los procesos permitidos, como $V=\mathrm{const}$ o $P=\mathrm{const}$, que los rendimientos de $C_V$ o $C_P$ respectivamente.

Bajo este supuesto, tenemos $$\mathrm dS = \frac{\partial S}{\partial T} \mathrm dT$$ es decir $$C\mathrm dT = \delta P = T\frac{\partial S}{\partial T} \mathrm dT$$ y, finalmente, $$C T = \frac{\partial S}{\partial T}$$

Una nota para los más matemáticamente inclinado:

Geométricamente, las restricciones de $V=\mathrm{const}$ o $P=\mathrm{const}$ definir un 1-dimensional submanifold donde el retroceso de $\delta Q$ a través de los naturales de la incrustación (localmente) exacto. De hecho, esta retirada debe ser incluido para hacer las ecuaciones anteriores se ajustan a la notación utilizada en la geometría diferencial:

Deje $\nu$ ser nuestro incrustación con $\mathrm d\tau = \nu^*\mathrm dT$ no degenerada. Hay una función de $C_\nu$ e ($\nu^*\delta Q$ es cerrado) otra función $Q_\nu$ (o más bien una familia de nivel local las funciones definidas) con $$\nu^*\delta P = C_\nu \mathrm d\tau = \mathrm dQ_\nu$$ que es $$C_\nu = \frac{\partial Q_\nu}{\parcial\tau}$$ En caso de $V=\mathrm{const}$, $Q_\nu$ es el retroceso de la energía interna $U$, mientras que en el caso de $P=\mathrm{const}$, $Q_\nu$ es el retroceso de la Entalpía $H$.

En el físico de la notación de este lee $$C_V = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V \\ C_P = \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_P$$

Answer 3

Se puede ver, como se manifestó $Q$ no es una característica del sistema (no es una función de estado). Depende del proceso. La manera sencilla de implementar la noción de proceso es a la vista de $Q$ como una función del tiempo. Así que usted puede ver $C$ como:

$$C(t) = \frac{dQ/dt}{dT/dt}$$

En el caso de un proceso reversible sin intercambio de materia con el medio ambiente:

$$\frac{dQ}{dt} = T \frac{dS}{dt}$$

Consideremos un gas ideal monoatómico, y en un proceso a volumen constante y la velocidad que nos permiten utilizar el equilibrio de las relaciones y asumir reversibilidad:

$$C_V = \frac{T \; dS/dt}{dT/dt} = \frac{dU/dt}{dT/dt} = \frac{\frac{3}{2} R NT \; dT/dt}{dT/dt} = \frac{3}{2} R NT$$

En resumen, usted puede ver siempre $dQ$ como un diferencial, pero a tiempo, el tratamiento de la $Q$ como una función del tiempo. Aprendí este truco del libro "Moderno de la Termodinámica: Calor en los Motores de Estructuras Disipativas" por Kondepudi y Prigogine.

Nota, que es perfectamente estricto matemáticamente --- sólo el cociente de dos de los derivados, sin formas diferenciales o algunos resbaladizo razonamiento con infinitesimals.

Answer 4

La capacidad de calor puede cambiar con $T$ haciendo que este no sea un diferencial exacta. Este es también el caso con otras ecuaciones de la termodinámica. El calor capasity hace referencia aquí, por supuesto, también varía con la presión y el volumen y esto es lo que nos lleva a las siguientes definiciones de la capacidad calorífica a presión constante $C_{p}$ y un volumen constante $C_{v}$.

$C_{p} = (\frac{\partial Q}{\partial T})_{p}$

y

$C_{v} = (\frac{\partial Q}{\partial T})_{v}$

Me gustaría interpretar la ecuación original simplemente como

$Q = C\,\Delta T$

Que es $Q$ es la cantidad de calor requerida por una sustancia con la capacidad de calor $C$, a cambio de la sustancia a la temperatura de $\Delta T$.

Espero que esto ayude.

La extensión de los Comentarios:

Por supuesto, tener una derivada parcial tiene sentido en este contexto. Vamos a tomar el constante volum caso; cuando el calor a una sustancia (líquido, por ejemplo) a volumen constante no se realiza el trabajo, por lo que el calor agregado es igual al incremento en la energía interna del fluido. Escrito $Q_{v}$ para el calor agregado a volumen constante (como en las ecuaciones anteriores), tenemos

$Q_{v} = C_{v} \Delta T$

scince $W = 0$ (trabajo), podemos escribir

$Q_{v} = \Delta U + W = \Delta U$.

Por lo tanto,

$\Delta U = C_{v} \Delta T$.

Tomando el límite cuando $\Delta T$ acercamientos cero nos encontramos

$\mathrm{d} U = C_{v} \mathrm{d}T$

Answer 5

La mayoría de las preguntas ya se describe cómo llegar a la definición matemática y sólo puedo añadir una más fenomenológica.

Experimentalmente el calor específico se define como el coeficiente térmico de la energía de entrada al aumento de la temperatura de un sistema adiabático (con presión constante o a volumen)

$$C = \frac{\Delta Q}{\Delta T},$$ y sabemos, también, a partir de experimentos que $C = C(T)$. Así que no media más de un gran intervalo tenemos que reducir la energía térmica tanto como sea posible y medir la respuesta, el aumento de la temperatura: $$C(T) = \lim\limits_{\Delta Q\rightarrow 0} \frac{\Delta Q}{\Delta T}$$ Si había una única función de $Q(T,C)$ nos iba a escribir esto como la derivada $$C(T) = \lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{Q(T, C)-Q(T+h, C)}{h} =\frac{dQ}{dT},$$ but it turns out that it matters how the thermal energy is put into the system. This means that there is no unique function $$Q = \int dQ,$$ so we fall back on the inexact differential, denoted by $\delta Q$, and define the specific heat as $$C(T) =\frac{\delta Q}{dT}$$