Usted puede tomar la expresión de $C=\frac{\delta Q}{\mathrm dT}$ como el infinitesimal versión de
$$
C=\frac{Q}{\Delta T}
$$
o formal de la reescritura de
$$
\delta P=C\mathrm dT
$$
que, sin embargo, no tiene sentido en el lenguaje de las formas diferenciales como la división por la forma $\mathrm dT$ no está definido.
Vamos a echar un vistazo en el sentido de $\delta Q=C\mathrm dT$ asumiendo formas diferenciales:
Por la segunda ley de la termodinámica, $\delta Q = T\mathrm dS$. El $\delta$ no tiene ningún significado especial, es sólo un recordatorio de que estamos tratando con un diferencial de la forma y no una función (que no puede escribir $\mathrm dQ$ aquí como la forma no es exacta, es decir, no a la diferencial de alguna función de estado $Q$).
Termodinámico de los sistemas son, en general, en menos de dos dimensiones y permiten diferentes opciones de coordenadas, por lo que asumen $S$ es representado por una función de la temperatura y de la otra variable, por ejemplo, $S=S(V,T)$ o $S=S(P,T)$.
La definición de la capacidad de calor desde arriba se supone que $S$ es una función de $T$ solo como la mano derecha no contiene términos con $\mathrm dV$ o $\mathrm dP$. En general, por lo tanto la necesidad de una mayor restricción en los procesos permitidos, como $V=\mathrm{const}$ o $P=\mathrm{const}$, que los rendimientos de $C_V$ o $C_P$ respectivamente.
Bajo este supuesto, tenemos
$$
\mathrm dS = \frac{\partial S}{\partial T} \mathrm dT
$$
es decir
$$
C\mathrm dT = \delta P = T\frac{\partial S}{\partial T} \mathrm dT
$$
y, finalmente,
$$
C T = \frac{\partial S}{\partial T}
$$
Una nota para los más matemáticamente inclinado:
Geométricamente, las restricciones de $V=\mathrm{const}$ o $P=\mathrm{const}$ definir un 1-dimensional submanifold donde el retroceso de $\delta Q$ a través de los naturales de la incrustación (localmente) exacto. De hecho, esta retirada debe ser incluido para hacer las ecuaciones anteriores se ajustan a la notación utilizada en la geometría diferencial:
Deje $\nu$ ser nuestro incrustación con $\mathrm d\tau = \nu^*\mathrm dT$ no degenerada. Hay una función de $C_\nu$ e ($\nu^*\delta Q$ es cerrado) otra función $Q_\nu$ (o más bien una familia de nivel local las funciones definidas) con
$$
\nu^*\delta P = C_\nu \mathrm d\tau = \mathrm dQ_\nu
$$
que es
$$
C_\nu = \frac{\partial Q_\nu}{\parcial\tau}
$$
En caso de $V=\mathrm{const}$, $Q_\nu$ es el retroceso de la energía interna $U$, mientras que en el caso de $P=\mathrm{const}$, $Q_\nu$ es el retroceso de la Entalpía $H$.
En el físico de la notación de este lee
$$
C_V = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V \\
C_P = \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_P
$$
