¿Es cierto que $(R\times S)[G]\cong R[G]\times S[G]$ ?

Question

Sé que para dos grupos $G, H$ (no necesariamente finito) tenemos $R[G\times H]\cong (R[G])[H]$ pero me preguntaba si teníamos una declaración similar para los anillos $R,\,S$ . En otras palabras, si $R,\,S$ son dos (posiblemente anillos no conmutativos), ¿es cierto que $(R\times S)[G]\cong R[G]\times S[G]$ ?

Answer 1

Denote $T=R\times S$ . Dejemos que $e=(1_R,0)1_G$ y $f=(0,1_S)1_G$ para que $(e+f)\cdot 1_G=1_{T[G]}$ .

Entonces $e$ y $f$ son idempotentes centrales y $eT[G]=R[G]$ , $fT[G]=S[G]$ y $T[G]$ es el producto directo de los dos.

Answer 2

Desde $R[G]$ está definida por la adjunción $Hom_{R-alg}(R[G], R')=Hom_{Grp}(G, R'^*)$ . En particular, la cadena de igualdad $$Hom_{R\oplus S-alg}((R\oplus S)[G], R')=Hom_{Grp}(G, R'^*)=Hom_{Grp}(G, R'^*)\oplus Hom_{Grp}(G, R'^*)=Hom_{R-alg}(R[G], R')\oplus Hom_{S-alg}(S[G], R')=Hom_{R\oplus S-alg}((R[G]\oplus S[G], R')$$ Así, $R[G]\oplus S[G]=(R\oplus S)[G]$ ¡!