Polinomios Pregunta: Probando$a=b=c$.

Question

Pregunta:

Let$P_1(x)=ax^2-bx-c, P_2(x)=bx^2-cx-a \text{ and } P_3=cx^2-ax-b$, donde$a,b,c$ son reales no. Existe un$\alpha$ real tal que$P_1(\alpha)=P_2(\alpha)=P_3(\alpha)$. Pruebalo $a=b=c$.

Las preguntas parecen bastante fáciles para las personas que conocen algún tipo de cálculo. Puesto que, la pregunta es de un concurso, no se puede utilizar cálculo. Tengo una solución que es un poco larga (sin cálculo involucrado), estoy buscando una forma más sencilla de resolver esto, que utiliza cosas más directas como$a-b|P(a)-P(b)$.

Answer 1

Observa eso

ps

Esto tiene un cero real. Pero como$$ P_1 ^2 + P_2^2 + P_3^2 - P_1P_2 - P_2 P_3 - P_3 P_1 = (a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) ( x^4 +x^3 + x^2 + x + 1) $ no tiene raíces reales, el coeficiente debe ser 0.

Por lo tanto,$x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0 $, so$0 = a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca = \frac{1}{2} [(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2] $.

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La idea de la primera ecuación viene de tratar de explotar la simetría en$a=b=c$, pero estando perplejo por los signos negativos. Tomar los cuadrados hizo más sentido, y la suma le da la simetría de la RHS.

Answer 2

Tenemos,

$a \alpha^2-b \alpha-c= b \alpha^2-c \alpha-a =c \alpha ^2-a \alpha-b=k$

Eliminar$\alpha^2$ me daría,

$(ca-b^2)\alpha-(bc-a^2)=k(b-a)$

$(ab-c^2) \alpha-(ca-b^2) =k(c-b)$

$(bc-a^2)\alpha -(ab-c^2)=k(a-c)$

Agregando todos ellos me daría,

$(a^2+b^2+c^2-ab-ca-bc)(\alpha-1)=0 \implies \alpha =1$ O el otro término es cero.

Sabemos qué sucede cuando$(a^2+b^2+c^2-ab-ca-bc)$ es cero. Cuando $\alpha=1$

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Answer 3

Sugerencia: si $a=b=c$, a continuación, los tres polinomios son iguales. Un truco útil para demostrar que los polinomios son iguales es la siguiente: si un polinomio $Q$ grado $n$ (como $P_1-P_2$) $n+1$ distintas raíces (puntos $\beta$ tal que $Q(\beta)=0$), a continuación, $Q$ es el polinomio cero. En particular, si una ecuación cuadrática tiene tres ceros, entonces debe ser idéntica a cero. De ello se desprende que cualquiera de los dos cuadráticas que está de acuerdo en tres puntos distintos deben ser idénticos. (Así que usted debe tratar de construir una ecuación cuadrática de $P_1,P_2,P_3$ que tiene tres ceros y de alguna manera a la conclusión de que ese $a=b=c$.)

Este resultado se puede probar usando el teorema de factor, y no requiere ningún cálculo (de hecho, como el resultado de su pregunta, se mantiene en el polinomio anillos donde el análisis no puede ser desarrollado en un particular sentido significativo, por lo que cualquier prueba utilizando el cálculo es bastante insatisfactorio).

Descargo de responsabilidad: no lo he comprobado a ver si este enfoque funciona, pero es más o menos la única completamente general truco para mostrar que dos polinomios son iguales.

Answer 4

Usted puede hacer esto muy en forma sistemática. La información dada es equivalente a las declaraciones que $P_1(\alpha) - P_2(\alpha) = 0$$P_2(\alpha) - P_3(\alpha) = 0$; en otras palabras que $$(a-b)\alpha^2 -(b - c)\alpha -(c - a) = 0$$ $$(b-c)\alpha^2 -(c - a)\alpha -(a - b) = 0$$ Luego, es natural para eliminar la $\alpha^2$ y luego resuelve $\alpha$. Así, tomamos $b-c$ veces la primera ecuación menos $a - b$ veces la segunda ecuación para obtener la $$((a-b)(c-a) -(b-c)^2)\alpha + (a-b)^2 - (c-a)(b-c) = 0$$ Podemos reescribir esto como $$((a-b)(c-a) -(b-c)^2)\alpha = (c-a)(b-c) - (a-b)^2$$ Por simetría tenemos también que $$((b-c)(a-b) -(c-a)^2)\alpha = (a-b)(c-a) - (b-c)^2$$ $$((c-a)(b-c) - (a-b)^2)\alpha = (b-c)(a-b) -(c-a)^2$$ Sumando las tres ecuaciones que se da $$((a-b)(b-c) + (b-c)(a-b) + (c-a)(b-c) - ((a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2))\alpha = ((a-b)(b-c) + (b-c)(a-b) + (c-a)(b-c) - ((a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2))$$ Para que esto se sostenga, $\alpha = 1$ o $$(a-b)(b-c) + (b-c)(a-b) + (c-a)(b-c) - ((a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2) = 0$$ Conectar $\alpha = 1$ da $a = b + c,$ $b = c+a,$ $c = a+ b$, conduce inmediatamente a $a = b = c$. Uno puede usar el AM-GM de la desigualdad en la cruz términos para mostrar que $$(a-b)(b-c) + (b-c)(a-b) + (c-a)(b-c) - ((a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2) \leq 0$$ La igualdad tiene iff $a-b = b-c = c-a$, que una vez más lleva a la $a = b = c$.