El valor de la integral impropia $x\exp(-\lambda x^2)\, dx$

Question

La integral en cuestión es $\int_{-\infty}^{+\infty} x {e}^{-\lambda x^2}dx$ donde $x$ et $\lambda$ ambos son números reales.

Mi solución:

$\int_{-\infty}^{+\infty} x {e}^{-\lambda x^2}dx = \int_{-\infty}^{0} x {e}^{-\lambda x^2}dx +\int_{0}^{+\infty} x {e}^{-\lambda x^2}dx =$
$\lim_{a\rightarrow -\infty}\int_{a}^{0} x {e}^{-\lambda x^2}dx +\lim_{b\rightarrow +\infty}\int_{0}^{b} x {e}^{-\lambda x^2}dx = \begin{vmatrix} u = -\lambda x^2\\ du = -\lambda 2xdx\\ \begin{matrix} x & 0 & a & b\\ u & 0 & -\lambda a^2 & -\lambda b^2 \end{matrix} \end{vmatrix} =$
$-\frac{1}{2\lambda}\left( \lim_{a\rightarrow -\infty}\int_{-\lambda a^2}^{0} {e}^{u}du +\lim_{b\rightarrow +\infty}\int_{0}^{-\lambda b^2} {e}^{u}du \right) =$
$-\frac{1}{2\lambda}\left( \lim_{a\rightarrow -\infty}\left(1 - {e}^{-\lambda a^2} \right) +\lim_{b\rightarrow +\infty}\left({e}^{-\lambda b^2} - 1 \right) \right) = -\frac{1}{2\lambda}\left( \left(1 - 0 \right) +\left(0 - 1 \right) \right) = 0$

1) ¿Es correcta esta solución?
2) Supongamos que una función real de argumento real $f\left(x\right)$ es impar y ambos límites de $f\left(x\right)$ como $x$ se acerca a $\pm\infty$ son valores finitos. ¿Es suficiente decir que $\int_{-\infty}^{+\infty}f\left(x\right)dx$ es igual a 0?

Answer 1

1. Sí.

2. Esto sólo funciona si $f$ es integrable. Un contraejemplo sería $f(x)=x/(1+x^2)$ cuya integral no existe. Lo que hay que saber es que $\int_a^b f(x)dx\to 0$ como $a$ et $b$ van al infinito, y esto se mantendrá si $f$ es integrable.

Sin embargo, se podría decir que el Valor principal de Cauchy de la integral es $0$ cuando $f$ es impar.