¿Podemos distinguir$\aleph_0$ de$\aleph_1$ en la Naturaleza?

Question

¿Podemos encontrar ejemplos de infinidad en la naturaleza?

Answer 1

Si por la naturaleza significa universo físico, tenga en cuenta que no hay ninguna prueba de que un conjunto infinito existe. Mientras que algunos de nosotros nos gustaría creer que el universo es infinito, esto no puede ser probado. También tienes que recordar que si bien deseamos percibir la realidad como un proceso continuo, no podemos medirlo con precisión. Dadas dos piezas de metal de longitud 1m (por la misma regla) que puede diferir por un par de átomos, que significa que un aumento de la longitud ya que si bien es muy muy pequeño de átomos todavía tienen un tamaño físico. Así que realmente no podemos señalar un objeto infinito en el universo, pero nosotros también dejan de señalar algo que es "exactamente la mitad" de otra cosa, etc.

Si, por otro lado, que significa "en matemáticas fuera de la teoría de conjuntos", a continuación, $\aleph_1$ está algo escondido. La razón es que en los no-set teórico construcciones a menudo hay poca importancia a cardinalidades sino countability; la cardinalidad del continuo, y tal vez el juego de poder de que.

Sin embargo, todavía hay leves apariciones de $\aleph_1$. Por ejemplo Sela demostrado en 1980 que hay un grupo de tamaño de $\aleph_1$ de manera tal que cada apropiado subgrupo de es contable. Otro ejemplo (aunque un poco más teórica en la naturaleza) es la solución para Whitehead problema para $\aleph_1$. Si suponemos además de ZFC un cierto conjunto de hipótesis teórica, a continuación, todos los $W$-grupo de tamaño de $\aleph_1$ es gratuito; si queremos probar una suposición diferente (de nuevo, con ZFC), entonces no es un $W$-grupo de tamaño de $\aleph_1$ que no es libre.

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Algo relacionado con:

1. Las pruebas dadas en el título de licenciatura que necesitan hipótesis continua?
2. Ejemplos de conjuntos cuyos cardinalidades se $\aleph_{n}$, o cualquier gran cardenal. (no asumiendo GCH)
3. Hacer infinito y cero realmente existe?

Answer 2

¿Qué tal esto: el conjunto de la posible distribución de la probabilidad de presencia de, digamos, un electrón es un continuo (bien al menos en la mayoría de los modelos!), Mientras que el conjunto de sus posibles niveles de energía es contable.

Answer 3

La pregunta tal y como pide es algo mal definido. Yo estoy tomando la palabra "naturaleza" significa "la cosa descrita por la física", pero, ¿qué significa decir que algunas objeto matemático se encuentra "en la naturaleza"?

Esa frase sólo puede tener sentido en relación con algunos esquema de asociación de objetos matemáticos, físicos "cosas". Es fácil construir un esquema de este tipo: por ejemplo, si considero que una interpretación donde puedo asociar "$\aleph_1$" a la manzana sentado en la mesa y no asignar significado a cualquiera de los objetos matemáticos, a continuación, he encontrado $\aleph_1$ en la naturaleza: es sentado en la mesa.

Tal vez más interesante es una más "estándar" de interpretación asociada con una teoría física. Las interpretaciones que se observa típicamente en una teoría física no tienden a asociar los números cardinales a los objetos. En particular, no asignar $\aleph_1$ a cualquier tipo de objeto, y este hecho es una banalidad.

Pero, en este caso, podemos volver a mayor orden de los conceptos. por ejemplo, una versión de la física Newtoniana basada en ZFC+CH dice que el número de puntos en cualquier región del espacio es $\aleph_1$.