¿Cómo transformar el producto en suma?

Question

Sólo me pregunto cómo probar que $ \ prod_ {m = 1} ^ {n} \ Big (x-2 \ cos \ frac {m \ pi} {n 1} 0} ^ {[n / 2]} (- 1) ^ {k} \ binom {nk} {k} x ^ {n-2k}. $$ Similarmente, cómo transformar el producto $ \ prod_ {m = 1} ^ {n} \ Big (x 2 \ cos \ frac {2m \ pi} {n} } \ Sum_ {k} b_k x ^ k? $$

Answer 1

Vamos, $\displaystyle P(x) = \sum\limits_{k=0}^{[n/2]} (-1)^k\binom{n-k}{k}x^{n-2k}$

Nos muestran, $\displaystyle P(\omega + \omega^{-1}) = 0$ donde, $\displaystyle\omega = \exp{\frac{2\pi i}{2n+2}}$ $(2n+2)^{th}$ raíces de la unidad.

$\begin{align} P(\omega+ \omega^{-1}) &= \sum\limits_{k=0}^{[n/2]} (-1)^k\binom{n-k}{k}(\omega+ \omega^{-1})^{n-2k} \\& = \sum\limits_{k=0}^{[n/2]}\sum\limits_{l=0}^{n-2k} (-1)^k\binom{n-k}{k}\binom{n-2k}{l}\omega^{n-2k-2l} \end{align}$

Si recopilamos los coeficientes de $\omega^{n-2r}$, donde, $r = k+l$ juntos,

$\displaystyle \begin{align} \sum\limits_{k=0}^{r}(-1)^k\binom{n-k}{k}\binom{n-2k}{r-k} = \sum\limits_{k=0}^{r}(-1)^k\binom{r}{k}\binom{n-k}{r} = 1\end{align} \tag{1}$

Donde, la identidad de $(1)$ puede ser derivada a partir de la forma general:

$\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{r}(-1)^k\binom{r}{k}\binom{n-k}{s} = \begin{cases} 1 & \textrm{ if } r = s \\ 0 &\textrm{ otherwise } \end{cases}$

que se puede demostrar por inducción o de otra manera.

Por lo tanto, $\displaystyle P(\omega+\omega^{-1}) = \sum\limits_{r=0}^{n} \omega^{n-2r} = 0$

Por lo tanto, $\displaystyle P(x) = \prod\limits_{r=1}^{n} \left(x - \omega^{r} - \omega^{-r}\right) = \prod\limits_{r=1}^{n} \left(x - 2\cos \frac{\pi r}{n+1}\right)$

Como @Roger209 señala en los comentarios, $\displaystyle P(x) = U_n\left(\frac{x}{2}\right)$ donde $U_n$ en el Polinomio de Chebyshev de $2^{nd}$ Tipo. Por eso, $\displaystyle P(2\cos \tau) = \frac{\sin (n+1)\tau}{\sin \tau}$, que tiene sus raíces en$\displaystyle \tau = \dfrac{m\pi}{n+1}$$m = 1(n)n$.

Segunda Parte:

Tomamos el segundo polinomio: $\displaystyle Q(x) = \prod\limits_{m=1}^{n}\left(x + 2\cos \frac{2m\pi}{n}\right)$

Teniendo en cuenta que el Polinomio de Chebyshev de $1^{st}$ Tipo $T_n$ satisface, $$T_n(\cos \theta) = \cos n\theta$$

Por lo tanto, $\displaystyle T_n\left(\cos \frac{2m\pi}{n}\right) = \cos 2 m\pi = 1$$m = 1,2,\cdots,n$.

Por lo tanto, $\displaystyle T_n(x) - 1 = - 1 + \frac{n}{2}\sum\limits_{r=0}^{[n/2]}\frac{(-1)^r}{n-r}\binom{n-r}{r}(2x)^{n-2r} = 2^{n-1}\prod\limits_{m=1}^{n}\left(x - \cos \frac{2m\pi}{n}\right)$

I. e., $\displaystyle Q(x) = (-1)^n2\left(T_n\left(-\frac{x}{2}\right) - 1\right)$.