Utilización de$p\supset q$ en lugar de$p\implies q$

Question

Vi que el uso de la notación $p\supset q$ en lugar de $p\implies q$ que me tiene un poco confundido.

Uno de los casos es en este enlace de Wikipedia.

A mí me parece opuesto de lo que debería ser, permítanme explicar lo que Me refiero a:

Si $A,B$ son conjuntos s.t $A\subset B$, $p$ es por $x\in A$, e $q$ es por $x\in B$, entonces podemos identificar (de alguna manera) $$A\text{ with }p$$ $$B\text{ with }q$$

Tenemos que $p\implies q$, ya que el $A\subset B$, pero en la de arriba la notación que hemos $q\subset p$ que a mí me parece como $B\subset A$

que es lo contrario de lo que queríamos expresar.

Puede por favor alguien que me explique la lógica detrás de esta notación ?

Answer 1

Una forma de racionalizar esta notación es pensar en una propuesta como la necesidad de un determinado contenido de la información.

A continuación, $p \supset q$ puede ser considerado como "el contenido de la información de $q$ está contenida en la de $p$". Una pieza particular de información que puede ser obtenida a partir de a $q$ "$q$ es verdadero".

Así vemos que $p \supset q$ naturalmente da lugar a la declaración de $p \implies q$, y a la inversa.

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Sin embargo, estoy de acuerdo con Hagen von Eitzen comentario de $p \to q$ debe ser la notación de elección, al menos en la lógica simbólica. Uno todavía puede utilizar $\implies$ en un meta-contexto, es decir, como más o menos una parte de la lengua natural hablamos de matemáticas.

Answer 2

Observe que en la línea en el enlace numerado 2, dicen que el símbolo$p\supset q$ a menudo se confunde para la inclusión de conjuntos. Pero no se establece la inclusión. Es sólo un símbolo utilizado para denotar la implicación material. Por lo tanto, parece que acaba de exhibir con qué frecuencia sucede realmente que esta confusión arrises.

Answer 3

De hecho, históricamente, la razón de que el uso de $\supset$ es que Peano escribió originalmente $p C q$ " $p$ es una consecuencia de la $q$", y escribió un retroceso "$C$ "" $p$ tiene como consecuencia $q$". Finalmente, así como el "$\epsilon$" se convirtió en "$\in$", así también los hacia atrás "$C$" convertido "$\supset$". Así que en realidad no tiene nada que ver con la teoría de conjuntos, de por sí, aunque tal vez él se utiliza la misma letra para ambos superconjunto y en consecuencia.

Pero como Lord_Farin notas, una manera de ver las cosas en términos de "contenido de información" o incluso (muy informal) "provability poder" (si "$p \supset q$" es cierto, entonces, la aceptación de "$p$" requiere de la aceptación de todo lo que vaya con la aceptación de "$q$"; a pesar de lo que acabo de decir podría ser muy filosóficamente contenciosos!). Y sí, parece más natural pensar que es semánticamente, y así pensar que el"$\supset$""$\subset$". Que de matemáticas para usted.