Expansión de$\int_0^\infty\left(\frac{\sin t}t\right)^p\mathrm dt$ en poderes inversos de$p$

Question

Esta pregunta se refiere a esta respuesta me dio a una pregunta acerca de la integral

$$\int_0^\infty\left(\frac{\sin t}t\right)^p\mathrm dt\;.$$

Yo derivados de una expansión en inversa poderes de $p$ y entonces se dio cuenta de que no sé cómo justificar rigurosamente o cómo determinar su radio de convergencia. He sustituido $u=\sqrt pt$ y aplicada

$$\left(1+\frac xn\right)^n=\mathrm e^x\left(1-\frac{x^2}{2n}+\frac{x^3(8+3x)}{24n^2}+\dotso\right)$$

a

$$ \left(\frac{\sen t}t\right)^p=\left(1+\frac1p\left(-\frac16u^2+\frac1{120}\frac{u^4}p-\dotso\right)\right)^p$$

para obtener

$$ \begin{align} \sqrt p\int_0^\infty\left(\frac{\sin t}t\right)^p\mathrm dt &= \int_0^\infty\mathrm e^{-u^2/6}\left(1-\frac1{180}\frac{u^4}p+\dotso\right)\mathrm du \\ &= \sqrt{\frac{3\pi}2}\left(1-\frac{3}{20}\frac1p+\dotso\right)\;. \end{align} $$

(Para más detalles, véase la respuesta.) Con la ayuda de Wolfram|Alpha, he trabajado más términos:

$$\sqrt p\int_0^\infty\left(\frac{\sen t}t\right)^p\mathrm dt = \sqrt{\frac{3\pi}2}\left(1-\frac{3}{20}\frac1p-\frac{13}{1120}\frac1{p^2}+\frac{27}{3200}\frac1{p^3}+\frac{52791}{3942400}\frac1{p^4}+\dotso\right)\;. $$

Creo que todos los intermedios de la serie están bien definidos y convergentes; el problema es que no sé cómo justificar intercambiando la integración y la suma final. Dudo que el teorema de convergencia dominada se puede aplicar, ya que el integrando es $\operatorname{sinc}^p(u/\sqrt p)$, cuya expansión se me esperaría a oscilar tan malo como el de alimentación de la serie para $\sin x$, cuyas sumas parciales son ilimitados.

Los últimos tres coeficientes anteriores son aproximadamente del mismo orden de magnitud, lo que podría indicar que si la serie converge, es posible que convergen $p\gtrsim1$. Sin embargo, mientras que conectar $p=10$ da el resultado correcto de hasta seis decimales, el resultado de $p=2$ de descuento en el primer decimal, mucho peor de lo que cabría esperar de términos. Esto me hace preguntarme si esto es tal vez sólo una expansión asintótica.

Así que mis preguntas son:

• ¿Cómo puedo justificar que se intercambia la integración y la suma en el último paso?
• Es la serie que he obtenido convergente? O es sólo un asintótica de expansión?
• Si converge, ¿cómo podría determinar el radio de convergencia?

Answer 1

Primero vamos a cuidar de la "cola" de esta integral. Tenemos $|\sin(t)/t| \le 1/t$$t > 0$, por lo que $$\int_2^\infty |\sin(t)/t|^p \ dt \le \int_{2}^\infty t^{-p}\ dt = \frac{2^{1-p}}{p-1} = O(p^{-k}) \ \text{as} \ p \to \infty$$ for any fixed $k$. Ahora para la integral de$0$$2$, podemos escribir $ \sin(t)/t = e^{-U^2(t)/6}$ donde $U(t)$ es analítica en $|t| \le 2$ (de hecho, el más cercano a las singularidades de que el origen está en $t = \pm \pi$) y el aumento en $[0,2]$ con $$U(t) = t+{\frac {1}{60}}{t}^{3}+{\frac {139}{151200}}{t}^{5}+{\frac {83}{ 1296000}}{t}^{7}+O \left( {t}^{9} \right) $$ Luego tenemos la $$\int_0^2 (\sin(t)/t)^p\ dt = \int_0^2 e^{-p U^2(t)/6}\ dt$$ Aplicar el cambio de las variables de $U(t)=u$ donde $t = V(u)$ es la inversa de la función definida en una vecindad de a $[0,U(2)]$: $$ \int_0^2 (\sin(t)/t)^p\ dt = \int_0^{U(2)} e^{-p u^2/6} V'(u)\ du$$ donde $$ V(u) = u-{\frac {1}{60}}{u}^{3}-{\frac {13}{151200}}{u}^{5}+{\frac {1}{336000}}{u}^{7}+O \left( {u}^{9} \right) $$ Podemos aproximar $V'(u)$ por su polinomio de Maclaurin $P_k(u)$ grado $k$, con un error delimitada por algunos $K u^{k+1}$$u \in [0,U(u)]$. El error correspondiente en nuestra integral es entonces limitada por $\int_0^\infty K e^{-p u^2/6} u^{k+1}\ du = O(p^{-k/2-1})$. Y podemos aproximar $\int_0^{U(2)} e^{-p u^2/6} P_k(u)\ du$ $\int_0^\infty e^{-pu^2/6} P_k(u)\ du$ error $O(p^{-k})$ ($O(e^{-\epsilon p})$algunos $\epsilon > 0$). Así que, finalmente, llegamos a la conclusión de que un asintótica de la expansión de nuestra integral está dada por $$\sum_{j=1}^\infty c_{2j} \int_0^\infty e^{-p u^2/6} u^{2j}\ du = \sum_{j=1}^\infty \frac{c_{2j}}{2} \Gamma(j+1/2) \left(\frac{6}{p}\right)^{j+1/2}$$ donde $c_{2j}$ son los coeficientes de la serie de Maclaurin $V'(u)$.

Aquí están algunos términos más:

$$\eqalign{ \int_0^\infty \left(\frac{\sin(t)}{t}\right)^p\ dt = \sqrt {{\frac {6 \pi }{p}}} &\left( \frac{1}{2} -{\frac {3}{40}}\,{p}^{-1}-{ \frac {13}{2240}}\,{p}^{-2}+{\frac {27}{6400}}\,{p}^{-3}+{\frac {52791 }{7884800}}\,{p}^{-4}\right.\cr & +{\frac {482427}{133120000}}\,{p}^{-5}-{\frac { 124996631}{20070400000}}\,{p}^{-6}-{\frac {5270328789}{272957440000}} \,{p}^{-7}\cr &\a la izquierda. -{\frac {7479063506161}{536923340800000}}\,{p}^{-8}+{\frac { 6921977624613}{113036492800000}}\,{p}^{-9} + \ldots\right)\cr}$$

Sí, esto debe ser una asintótica de la serie.