Intuición: Si$a\leq b+\epsilon$ para todos$\epsilon>0$ entonces$a\leq b$?

Question

Estoy leyendo el análisis de Tom Apostol y me encuentro con este teorema.

¿Debería$a \leq b$ if$a\leq b+\epsilon$ para todos$\epsilon >0$?

No dudo de la prueba en el libro, pero no entiendo la intuición o la explicación geométrica detrás de esto. ¿Podría alguien arrojar algo de luz sobre esta ecuación? Acabo de empezar a estudiar el análisis por mi cuenta.$\ \ $

Answer 1

Dibuja una línea numérica. Marque el punto$b$. ¿Dónde puede marcar$a$? Cada número mayor que$b$ puede escribirse como$b+\varepsilon$ para algunos$\varepsilon >0$. Entonces$a\leqslant b+\varepsilon$ dice que cada número mayor que$b$ también es mayor que$a$. Por lo tanto, borra todo lo que viene después de$b$. Las únicas opciones que quedan son los números a la izquierda o$b$ sí mismo.

Answer 2

La contraposición de esta declaración dice si$a>b$ entonces existe$\epsilon>0$ tal que$a>b+\epsilon$, tome$\epsilon = (a-b)/2$.

Answer 3

¿Cuál es la alternativa posible a $a≤b$ ?

Obviamente, es $b<a$. Es posible que, al mismo tiempo, $a≤b+ϵ$ todos los $ϵ>0$ e $b<a$.

OK, vamos a considerar esa posibilidad - en ingenuo sentido geométrico significa que $b$ está a la izquierda de $a$.

Pero los números reales tienen que gran propiedad - si tenemos dos números diferentes, existe un número "entre" ellos. Así, para algunas pequeñas $ϵ$ $ϵ$ es igual a la mitad de la distancia entre el$a$$b$$b+ϵ<a$.

Answer 4

La pregunta es equivalente a: Si$x \ge -\epsilon$ para cada$\epsilon > 0$, entonces$x\ge 0$.

Suponga$\epsilon^2 = 0$, pero$\epsilon \neq 0$. Supongamos que definimos$x + y\epsilon\ge 0$ para indicar que existe$a$ y$b$ tal que$x + y\epsilon=(a+b\epsilon)^2$.

En este idioma, la condición$x\ge -\epsilon$ significa que existe$a$ y$b$ tal que$x + \epsilon = (a+b\epsilon)^2 = a^2 + 2ab\epsilon$. Por lo tanto$x=a^2$ y$1 = 2ab$. En particular, esto significa$x\ge 0$.