Las clases de Chern de dar un mapa f:BU \a \prod_n K(Z,2n), que es una forma racional de equivalencia. Sin embargo, no es una equivalencia sobre Z porque el cohomology de BU es sólo un polinomio de álgebra y no tiene Steenrod operaciones. En particular, los generadores de la homotopy grupos \pi_{2n}(BU)=Z no mapa a los generadores de la homotopy grupos \pi_{2n}(K(Z,2n))=Z. Otra forma de decir esto es que los duales de las clases de Chern en la homología no están en la imagen de Hurewicz; sólo ciertos múltiplos de ellos. ¿Qué múltiplos que tiene que tomar es determinado por el orden de los k-invariantes de BU, que son ciertos Steenrod operaciones de las clases fundamentales de K(Z,2n).
Steenrod operaciones pueden ser entendidos como obstáculos para la copa del producto sobre ordinario cohomology estrictamente conmutativa. Por otro lado, el hecho de que f no es una equivalencia puede ser también entendida como una obstrucción a la adición de K-teoría estrictamente conmutativa. De hecho, cualquier espacio con una estricta estructura de grupo conmutativo es un producto de K(\pi_n,n)s en el mapa dado por un derecho inversa de la Hurewicz mapa.
Así que, en cierto sentido se podría decir que los productos en cohomology son sólo homotopy conmutativa y la suma de K-teoría son sólo homotopy conmutativa "por la misma razón". ¿Hay alguna historia más profunda detrás de esto? No sé exactamente lo que estoy pidiendo, pero me gustaría conseguir una mejor comprensión de lo que está pasando en esta imagen.
