Qué es la manera más simple para tener una idea (no rigurosa prueba) que
$$\sum_{ p \leq x}\frac{1}{p} \approx \log{\log{x}}$$
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Roger Hoover
Puntos
56
La función de Von Mangoldt cumple con el % de identidad $\log(n)=\sum_{d\mid n}\Lambda(d)$, por lo tanto %#% $ #% siendo el LHS de $$ \sum_{n\leq x}\log(n) = \sum_{d\leq x}\Lambda(d)\left\lfloor\frac{x}{d}\right\rfloor\tag{1} $ $(1)$ por la desigualdad de Stirling.
Desde $x\log(x)+O(x)$ y $\left\lfloor\frac{x}{d}\right\rfloor=\frac{x}{d}+O(1)$ de la forma débil de lo PNT, sigue que $\sum_{d\leq x}\Lambda(d)=O(x)$ $ y desde contribute dado por potencias primeras está delimitado por una constante absoluta, % $ $$ \sum_{d\leq x}\frac{\Lambda(d)}{d}=\log(x)+O(1)\tag{2} $en particular, por suma de partes, $$ R(x)=-\log(x)+\sum_{p\leq x}\frac{\log p}{p} = O(1).\tag{3} $ $
iadvd
Puntos
2322
Aparte de la respuesta de Jack D'Aurizio, me gustaría añadir como complemento de la siguiente muy agradable extracto de "El G. H. Hardy Lector", publicado por La Asociación Matemática de América. Se trata de un compendio de las más importantes conferencias del Profesor G. H. Hardy. Sólo por casualidad, me estoy leyendo exactamente el capítulo $4$ ("El Matemático Indio Ramanujan"), y no es fácil seguir la explicación del tema se le preguntó por el OP, por lo que estos son el brillante Profesor Hardy palabras (cualquier error en las fórmulas mi culpa, por favor, házmelo saber):
En primer lugar, podemos empezar a partir de la identidad de Euler:
$$\Pi_p\frac{1}{1-p^{-s}}=\frac{1}{(1-2^{-s})(1-3^{-s})(1-5^{-s})\dots}=\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\dots=\sum_{n}\frac{1}{n^s}$$
Esto es cierto para $s \gt 1$, pero ambas series y el producto se convierte en infinito para $s=1$. Es natural afirmar que, al $s=1$, la serie de un producto debe divergir de la misma manera. También
$$\log{\Pi\frac{1}{1-p^{-s}}}=\sum\log{\frac{1}{1-p^{-s}}}=\sum\frac{1}{p^s}+\sum{(\frac{1}{2p^{2s}}+\frac{1}{3p^{3s}}+\dots)}$$
y el último de la serie sigue siendo infinito para $s=1$. Es natural inferir que
$$\sum{\frac{1}{p}}$$
diverge como
$$log{(\sum{\frac{1}{n}})},$$
o, más precisamente, que
$$\sum_{p \le x} \frac{1}{p} \sim\log{(\sum_{n \le x}\frac{1}{n})}\sim log{\ log{\ x}}$$
para un gran $x$.
Por cierto, el libro es un poco caro para los no profesionales ("aficionado") lector (como yo), pero lo que realmente worths cada centavo pagado por ello. Es muy agradable de la perla, por lo que le recomiendo su lectura si usted tiene una oportunidad.
