Integración trigonométrica ${ \int_ {0}^{2 \pi }} \sin (2x) \cos (3x)\, dx$

Question

$${ \int_ {0}^{2 \pi }} \sin (2x) \cos (3x)\, dx$$

Creo que necesitas usar una fórmula de doble ángulo pero no estoy seguro de cómo se supone que debo dividir el $3x$ .

Answer 1

Utilice

$$ \sin (a) \cos (b) = \frac {1}{2} \left ( \sin (a+b) + \sin (a-b) \right )$$

Answer 2

Si desea evitar cualquiera de esas fórmulas de trigonometría y conocer la compleja definición de $ \sin $ y $ \cos $ esta es la integral fácil de calcular: $$ \frac {1}{4i} \int_0 ^{2 \pi }(e^{2i \theta }-e^{-2i \theta })(e^{3i \theta }+e^{-3i \theta })d \theta $$ que encontrarás que es cero multiplicando las cosas y evaluando las integrales fáciles por sustitución.

Answer 3

Utilice la fórmula de adición con $a=2x$ y $b=3x$ para encontrar $$ \sin a \cos b = \frac {1}{2} \left ( \sin (a+b) + \sin ( a - b) \right ) $$

$$ \sin (2 x) \cos (3 x) = \frac {1}{2} \left ( \sin (5 x)- \sin (x) \right ) $$ $$ \frac {1}{2} \int \sin (5 x)- \sin (x)\, dx = \frac {1}{2} \cos x - \frac {1}{10} \cos (5x) $$

Answer 4

Usando la sustitución $t=x- \pi $ tenemos $$ \int_ {- \pi }^ \pi \sin 2t \cos (3t+ \pi ) \mathrm {d}t = - \int_ {- \pi }^ \pi \sin 2t \cos 3t \mathrm {d}t.$$ Así que estamos integrando y la función impar y el intervalo es simétrico de origen w.r.t., por lo tanto la integral es cero.

Esto es básicamente lo mismo que decir que la mitad de los Coeficientes de Fourier de una función uniforme son cero. (La función par aquí es $ \cos 3t$ .)