Mi pregunta es en el título:
Es posible encontrar la $n≥4$ tal que $2^n$ es un número capicúa (en base a $10$)?
Un número capicúa es un número que es el mismo, independientemente del lado en el que podemos leer (hacia adelante y hacia atrás), por ejemplo,$121, 484, 55755$.
Mi conjetura es "no". Yo sé que un número capicúa $x$, incluso con la longitud (es decir, el número de dígitos $\max\{n : 10^n \mid x\}$ es incluso) es un múltiplo de a $11$: ver aquí o aquí o aquí. En particular, un poder de $2$ con una longitud no puede ser un número capicúa.
Sin embargo, no sé qué hacer con el caso de una longitud impar. Por ejemplo, si $x=abcdcba$, $abccba$ es un múltiplo de a $11$, pero no veo cómo esto puede ayudar.
Aquí está una pregunta relacionada. En MathOverflow, preguntas relacionadas son: (1) y (2). Tal vez también este hilo (ya $(1)$ está centrado en binario de expansión).
He probado con Mathematica y no es capicúa poder de $2$ con exponente $n<10000$:
palindromeQ[n_] := IntegerDigits[n] === Reverse@IntegerDigits[n];
For[i = 1, i < 10000, i++, If[PalindromeQ[2^i], Print[i]] ]
Por último, creo que la respuesta va a ser lo mismo si lo reemplace $2$ por cualquier entero $n>1$ que no es un múltiplo de a $11$. No sé cómo he podido demostrar (incluso para el caso de longitud...) que $11^n$ no es un número capicúa para $n≥5$.
Cualquier sugerencia será útil. Gracias!
