¿Si $a_n+b_n\sqrt{3}=(2+\sqrt{3})^n$, entonces lo que ' s $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}$?

Question

Que $a_n$ $b_n$ ser enteros definidos de la siguiente manera: $$a_n+b_n\sqrt{3}=(2+\sqrt{3})^n.$$ Compute $% $ $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}.$

He intentado ampliar aplicando el teorema del binomio: $$ (2+\sqrt{3})^n=\binom{n}{0}2+\binom{n}{1}2^2\sqrt{3}+\binom{n}{2}2^3\cdot 3+\ldots+\binom{n}{n-1}2\sqrt{3}^{n-1}+\binom{n}{n}\sqrt{3}^{n}$ $ y creo que tenemos que: $$ a_n=\binom{n}{0}2+\binom{n}{2}2^3\cdot 3+\ldots+\binom{n}{n}\sqrt{3}^{n}$ $

$$ b_n=\binom{n}{1}2^2\sqrt{3}+\ldots+\binom{n}{n-1}2\sqrt{3}^{n-1}$$

Pero, francamente, no sé qué hacer.

Answer 1

Para la diversión, también puede hacerlo con álgebra lineal. Que $V = \mathbb{Q}(\sqrt{3})$ como espacio con base $\mathbb{Q}$ $\{1,\sqrt{3}\}$-vector. El mapa de "multiplicación-por-$(2+\sqrt{3})$" se parece a $\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix},$ que $$\begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}^n \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}.$$ In the limit, the largest eigenvalue of $\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ dominates, so $\begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix}$ will be close to a multiple of the eigenvector $\begin{pmatrix} \sqrt{3} \\ 1 \end{pmatrix}$; i.e. $\frac{a_n}{b_n} \rightarrow \sqrt{3}.$

Answer 2

Sugerencia: Primero observe que $a_n -b_n\sqrt{3}=(2-\sqrt{3})^n$. Combinan con la Asunción, conseguimos todas las $a_n^2 - 3b_n^2 =1$ $n$. Entonces $\frac{a_n^2}{b_n^2}-3=\frac{1}{b_n^2}$. Usted debe demostrar que $b_n \to \infty$. Por lo tanto, $\frac{a_n}{b_n} \to \sqrt{3}$ desde $\frac{a_n}{b_n}>0$.

Answer 3

Tenga en cuenta que

$$a_n - b_n\sqrt{3} = (2-\sqrt{3})^n$$

Por lo tanto,

$$2a_n = (a_n - b_n\sqrt{3}) + (a_n + b_n\sqrt{3}) \Rightarrow a_n = \dfrac{(2+\sqrt{3})^n + (2-\sqrt{3})^n}{2}$$

Expresando el $b_n$ obtenemos:

$$b_n = \dfrac{(2+\sqrt{3})^n - a_n}{\sqrt{3}} = \dfrac{(2+\sqrt{3})^n - (2-\sqrt{3})^n}{2\sqrt{3}}$$

Ahora debería ser fácil de calcular el límite de $\dfrac{a_n}{b_n}$. Desde $(2-\sqrt{3})^n \to 0$, podemos concluir que

$$\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{a_n}{b_n} = \lim\limits_{n\to+\infty} \dfrac{(2+\sqrt{3})^n}{(2+\sqrt{3})^n/\sqrt{3}} = \sqrt{3}$$