¿Cómo puedo demostrar que esta secuencia es monótona?

Question

Tengo una secuencia $(u_n)$ que se define como:

$u_0 = 2$ ,

$u_{n+1} =\frac{u_n}{2} + \frac{1}{u_n}$

He intentado demostrar que es monótona utilizando la inducción, pero no lo he conseguido.

¿Cómo puedo demostrarlo fácilmente?

Gracias

Answer 1

$$ u_{n+1}-u_n=\frac{u_n}{2}+\frac{1}{u_n}-u_n=\frac{1}{u_n}-\frac{u_n}{2} =\frac{2-u_n^2}{2u_n} $$ Así que el signo se determina una vez que sabemos si $u_n^2>2$ o $u_n^2<2$ .

Para $n=0$ tenemos $u_0>\sqrt{2}$ , por lo que podemos tratar de probar $u_n>\sqrt{2}$ para cada $n$ .

Supongamos que lo hace para $n$ . Entonces $$ u_{n+1}^2-2=\left(\frac{u_n}{2}+\frac{1}{u_n}\right)^2-2= \frac{u_n^2}{4}+1+\frac{1}{u_n^2}-2= $$ ¿Puedes terminar?

Answer 2

Demostremos primero que

$$u_n \ge \sqrt{2}$$

Esto puede hacerse por inducción: $u_1 \ge 2$ y si $u_m \ge \sqrt{2}$ entonces $$u_{m+1} = \dfrac{u_m}{2}+\dfrac{1}{u_m} \geq \sqrt{2}$$

La última desigualdad se mantiene por la siguiente razón. Consideremos la función

$$f(x) = \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{x}$$

Su derivado:

$$f'(x) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{x^2}$$

Aquí podemos observar que si $x \ge \sqrt{2}$ entonces $f'(x) > 0$ lo que significa que $f(x)$ está aumentando en $[\sqrt{2}; +\infty)$ . Así que, $f(x) \ge f(\sqrt{2}) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ para $x \ge \sqrt{2}$ .

Por lo tanto, acabamos de demostrar que $u_{m+1} = f(u_m)\ge \sqrt{2}$ (paso inductivo: si suponemos que $u_m \ge \sqrt{2}$ entonces $u_{m+1} \ge \sqrt{2}$ también).

Ahora bien, tenga en cuenta que si $u_m \ge \sqrt{2}$ entonces

$$\dfrac{u_m}{2} \ge \dfrac{1}{u_m} \Rightarrow u_m \ge \dfrac{u_m}{2} +\dfrac{1}{u_m} = u_{m+1}$$

Esto implica que $u_{m}$ disminuye monótonamente.