La idea básica es que identidades como $(1)$ provienen de la utilización de la fórmula $$\arctan x + \arctan y = \arctan \frac{x + y}{1 - xy}.$$ Desde $\frac\pi4 = \arctan 1$ tenemos $$\frac\pi4 = \arctan x + \arctan \frac{1-x}{1+x}$$ para cualquier $x$ (resolviendo el $y = \frac{1-x}{1+x}$ que nos dará $\frac{x+y}{1-xy}=1$ ). Así que podríamos escribir $$\frac\pi4 = \arctan \frac12 + \arctan \frac13$$ por ejemplo. Entonces podríamos dividir cada una de estas arctangentes en arctangentes más pequeñas, y seguir así.
De hecho, tenemos muchas identidades. ¿Cuáles son las mejores? Para la velocidad de convergencia, obviamente es mejor tener un valor muy pequeño de $x$ en $\arctan x$ ; tal vez $x = \frac1n$ para un número entero bastante grande $n.$ Pero sería también sería bueno que pudiéramos "duplicar" un término: lo bueno de $(1)$ es que $\arctan \frac15$ está ahí cuatro veces, pero sólo tenemos que calcularlo una vez.
Obtenemos la misma arctangente dos veces utilizando la fórmula $$2 \arctan x = \frac{2x}{1-x^2} \qquad \Longleftrightarrow \qquad 2 \arctan \frac pq = \arctan \frac{2pq}{q^2-p^2}.$$ No podemos hacer que esto funcione con $\frac{2pq}{q^2-p^2} = 1$ pero podemos hacer esto muy cerca de $1$ , de modo que la parte que sobra es la arctangente de algo muy pequeño. Podrías notar que $2pq$ y $q^2-p^2$ son dos lados de un triple pitagórico: $(2pq)^2 + (q^2-p^2)^2 = (q^2 + p^2)^2$ . Así que no podemos hacerlos iguales, porque no hay ningún triángulo rectángulo isósceles con lados enteros. Pero resolviendo la ecuación de Pell, podemos hacerlos enteros consecutivos. Más precisamente, si tenemos una solución de $x^2 - 2y^2 = -1$ entonces también tenemos $\left(\frac{x-1}{2}\right)^2 + \left(\frac{x+1}{2}\right)^2 = y^2$ que podemos utilizar para obtener una bonita identidad de doble arcotangente.
Por ejemplo, si tomamos $(x,y) = (7,5)$ (que satisface $7^2 - 2\cdot 5^2 = -1$ ) entonces obtenemos el triple pitagórico $(3,4,5)$ que tiene $q=2$ y $p=1$ . Así que esto nos da la identidad $2 \arctan \frac12 = \arctan \frac43$ . Cuando $x = \frac43$ , $\frac{1-x}{1+x} = -\frac17$ , por lo que tenemos $$\frac\pi4 = \arctan \frac43 - \arctan \frac17 = 2\arctan \frac12 - \arctan \frac17.$$ Si tomamos $(x,y) = (41,29)$ obtenemos el triple pitagórico $(20, 21, 29)$ que tiene $q=5$ y $p=2$ Esto nos da la identidad $2 \arctan \frac25 = \arctan \frac{20}{21}$ . Cuando $x = \frac{20}{21}$ , $\frac{1-x}{1+x} = \frac{1}{41}$ Así que $$\frac\pi 4 = \arctan \frac{20}{21} + \arctan \frac1{41} = 2 \arctan \frac25 + \arctan \frac{1}{41}.$$ Desde $\frac25 \approx \frac13$ podríamos intentar escribir $\arctan \frac25 = \arctan \frac13 + \arctan y$ y obtener $y = \frac1{17}$ . Así que podemos reescribir la identidad como $$\frac\pi4 = 2 \arctan \frac13 + 2\arctan \frac1{17} + \arctan \frac1{41}.$$
Obtenemos la infame fórmula con $239$ en él tomando $x=239$ y $y = 169$ como nuestra solución Pell, lo que nos da el triple pitagórico $119^2 + 120^2 = 169^2$ y $(p,q) = (5,12)$ . Así que $2 \arctan \frac{5}{12} = \arctan \frac{120}{119}$ Cuando $x = \frac{120}{119}$ , $\frac{1-x}{1+x} = -\frac{1}{239}$ por lo que obtenemos la identidad $$\frac\pi4 = 2\arctan \frac{5}{12} - \arctan \frac{1}{239}.$$ Aquí, tenemos una suerte extra, porque $5$ y $12$ forman ellos mismos un triple pitagórico, por lo que podemos escribir $\arctan \frac{5}{12} = 2 \arctan \frac15$ , dándole la identidad $(1)$ .
