¿Can seis "$1\times1\times1$ pirámides" caber dentro de un cubo de $1\times1\times1$?

Question

Considere la posibilidad de la pirámide $\left \{ (x, y, z): x,y,z\geq 0, x+y+z\leq 1 \right \}$.

Esta es una pirámide que ha $3$ pares ortogonales, bordes, todos de la longitud de la $1$ (igual que en un rincón de una habitación):

A partir de ahora voy a llamar a una "unidad de la pirámide" (ARRIBA). Uno puede fácilmente comprobar que el volumen de un es exactamente $\frac{1}{6}$. Por lo que plantea la pregunta:

¿Se puede tomar de seis UPs y encajan perfectamente en el interior de un cubo unitario?

Cuando pensaba en ello, mi respuesta inicial fue obvio que sí. Así que traté de imaginar como organización, pero no podía. Me sorprendió bastante ya que por lo general tienen una muy buena visión espacial. Luego probé con el dibujo de una solución y no pudo.

Como yo no soy experta en tecnología suficiente para usar una gráfica 3D de software, decidí tomar este problema en el mundo real.

Así que aquí es una unidad de la pirámide:

Se compone de 3 aristas de longitud 1 (de la cual empecé a ser $5$ cm) y 3 aristas de longitud $\sqrt2$ ($\approx 7$ cm).

Ahora, sólo hay una manera razonable para adjuntar otro, si nuestro objetivo es una unidad de cubo:

(desde ahora tenemos nuestra base cuadrada). Ahora he añadido todos los bordes para formar un cubo:

Y como 3D mente puede ver, ahora tenemos cuatro de la unidad de pirámides:

Es muy difícil ver la zona que ha quedado al descubierto por nuestros 4 UPs, así que aquí está, destacó: Y ¿qué sabe usted - que es un tetraedro regular! Una rápida verificación de la realidad: un tetraedro regular con aristas de longitud $\sqrt 2$ tiene un volumen de $\sqrt 2 (\sqrt 2)^3/12=4/12=1/3$, que se adapte el hecho de que entramos en 4 UPs en el interior.

Pero ahora, estoy bastante seguro de que usted no puede caber otra 2 de ellos en el interior. Para estar seguro, yo construido ellos por separado (última foto, te lo prometo!): A la izquierda hay una, y a la derecha - nuestro tetraedro regular (puede creer que uno es el doble del volumen de los otros?) Ahora sólo tendrás que confiar en mí que no encaja.

Bueno, que me convenció de que la misión de montaje de 6 unidad de pirámides dentro de una unidad, el cubo es imposible, pero por supuesto, yo no llamaría a esto una prueba matemática. ¿Alguien tiene más matemáticamente-argumento convincente? Me gustaría escuchar sus ideas y pensamientos acerca de esto.

Gracias por su tiempo a la lectura de la pregunta!

Answer 1

Comparando únicamente los volúmenes, todo lo que puede de entrenamiento muy bien.

Sin embargo, cada una de las pirámides contribuye cualquiera de las tres aristas del cubo, o ninguno en absoluto (ni siquiera parcialmente). Como el cubo tiene doce aristas, no debe ser exactamente cuatro pirámides de la primera clase. Pero tales pirámides también contribuyen $3/2$ a la superficie, para que juntos contribuyen toda la superficie. Esto sólo es posible si cada superficie es cortado en dos triángulos y, por tanto, los ápices de estas pirámides son diagonalmente opuesta a los vértices de las caras. Esto obliga a que los ápices forma de un tetraedro (formado a partir de cuatro de los ocho vértices del cubo).

Hasta el momento, no hay ninguna opción involucrados (arriba a la rotación de la plena disposición); el resto de la forma es un tertahedron, y por esto es más o menos "evidente" que no puede ser cortado en dos pirámides como se desee.