La secuencia de nuevo por conveniencia $$ a_{n+1}=a_n-\frac{1}{a_n},\;a_0=2 $$ Mi amigo me ha hecho esta pregunta y no sé cómo abordarla. Está claro que no tiene límite, pero no estoy seguro de que sea ilimitado; parece oscilar con gran amplitud cuando lo simulas numéricamente.
Tampoco consigo llegar a ningún sitio con las funciones generatrices, pero tampoco sé cómo utilizarlas para las relaciones de recurrencia no lineales.
Obsérvese que existe un ciclo de 2 si empezamos por $$ x = \pm \frac{1}{\sqrt 2} \approx \pm 0.7071, $$ ya que entonces obtenemos $$ x - \frac{1}{x} = -x. $$ $$ f(x) = x - \frac{1}{x}. $$ Importante: $f$ es impar , $$ f(-x) = -f(x). $$ $$ \mbox{If} \; \; \; f(x) = -x, \; \; \; \mbox{then} \; \; \; f(f(x)) = x.$$
También obtenemos 4 ciclos en las raíces de $$ 2 x^4 - 4 x^2 + 1, $$ entonces $$ f(f(x)) = -x, $$ $$ \mbox{If} \; \; \; f(f(x)) = -x, \; \; \; \mbox{then} \; \; \; f(f(f(f(x)))) = x.$$
La presencia de ciclos de grado cada vez mayor tiende a apoyar la hipótesis de un comportamiento caótico en otros lugares.
6-ciclos en las raíces de $$ 2x^8 - 11x^6 + 17x^4 - 8x^2 + 1 $$ $$ \mbox{If} \; \; \; f(f(f(x))) = -x, \; \; \; \mbox{then} \; \; \; f(f(f(f(f(f(x)))))) = x.$$ Ahora que lo pienso, este diagrama también muestra algunos triciclos. 
Me parece que estos puntos implicados en $2k$ -ciclos pueden ser densos en la línea real. De ser así, sería una prueba contundente.
Salvajemente inestable. Hice los primeros 25 pasos con el dado $x$ valor semilla en aritmética de números racionales,
1: 1.5 = 3/2
2: 0.8333333333333333 = 5/6
3: -0.3666666666666666 = -11/30
4: 2.36060606060606 = 779/330
5: 1.93698603493212 = 497941/257070
6: 1.420720051612811 = 181860254581/128005692870
7: 0.7168516161213897 = 16687694789137362648661/23279147893155496537470
8: -0.6781372177053623 = -263439569256003706800705587722279993788907979/388475314992168993748220639081347493631827670
9: 0.7964905919638025 = 81512663708476146329709015825571064954724426915346799560162522434680208602364731247764459/102339769648127358726761918460732576814168548432921287355299929744910591862606847215978930
10: -0.4590170186589809 = -3829114106780645548860005128366999929762127231121785938212801344907004576697195186639451276755270737038953266911319233153169994507036998538685318746477046140028242936033060382219/8341987227330719589550045299118644973579016226280953918450224539222226868008655704094557970730123521406125932252315167316321272393191426438953060083145494237274901280505746848870
11: 1.719551442531198 =
12: 1.138004432499333 =
13: 0.2592732330050055 =
14: -3.597661740227243 =
15: -3.319703423907924 =
16: -3.018471695555874 =
17: -2.687178213005645 =
18: -2.315040631969854 =
19: -1.883082770759831 =
20: -1.352038668223384 =
21: -0.6124148516101889 =
22: 1.020465208974159 =
23: 0.0405199926102738 =
24: -24.63865528804984 =
25: -24.5980686574765 =
Ah, lo tengo. ¿Dónde encontraste la función original $f$ ? Parece que tomaste un límite potencial $L=L-1/L$ y retocó un cartel?
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Vaya, ¿alguien puede explicar por qué esta pregunta tiene tantos upvotes?
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Obsérvese que la recursión también puede escribirse $$ \frac pq \mapsto \frac{p^2-q^2}{pq} $$ y si $p/q$ está en términos mínimos, entonces el lado derecho también lo estará.
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Pensando que la cartografía $x \mapsto x - 1/x$ es una transformación ergódica infinita, me asombraría que $a_n$ está limitada. Pero para ser honesto, no tengo absolutamente ninguna idea de cómo se comporta esta iteración para este valor inicial en particular.