¿Por qué ningún estudiante obtuvo la respuesta correcta?

Question

Le di el siguiente problema a los estudiantes:

Dos $n \times n$ matrices $A$ y $B$ son similar si existe una matriz no singular $P$ de tal manera que $A=P^{-1}BP$ .

1. Demuestra que si $A$ y $B$ son dos similares $n \times n$ matrices, entonces tienen el mismo determinante y el mismo rastro.

2. Demos un ejemplo de dos $2 \times 2$ matrices $A$ y $B$ con el mismo determinante, el mismo rastro pero que no son similares.

La mayoría de los 20 estudiantes acertaron con la primera pregunta. Sin embargo, casi ninguno de ellos encontró un ejemplo correcto de la segunda pregunta. La mayoría de ellos dieron ejemplos de matrices que tienen el mismo determinante y el mismo rastro.

Pero los cálculos muestran que sus ejemplos son matrices similares. Sin embargo, no se molestaron en comprobar eso, así que sólo intentaron al azar matrices con el mismo rastro y el mismo determinante, esperando que sea un ejemplo correcto.

Pregunta ¿cómo explicar que ninguno de los ensayos aleatorios dio matrices no similares?

Cualquier respuesta basada en la densidad o en la teoría de la medida está bien. En particular, se puede asumir cualquier distribución razonable en las entradas de la matriz. Si importa, el curso trata sobre matrices con coeficientes reales, pero se pueden asumir coeficientes enteros, ya que al elegir los números al azar la mayoría de la gente escoge números enteros.

Answer 1

Si $A$ es un $2\times 2$ matriz con determinante $d$ y rastrear $t$ entonces el polinomio característico de $A$ es $x^2-tx+d$ . Si este polinomio tiene raíces distintas (sobre $\mathbb{C}$ ), entonces $A$ tiene valores propios distintos y, por tanto, es diagonalizable (sobre $\mathbb{C}$ ). En particular, si $d$ y $t$ son tales que el polinomio característico tiene raíces distintas, entonces cualquier otro $B$ con el mismo determinante y traza es similar a $A$ ya que son diagonalizables con los mismos valores propios.

Así que para dar un ejemplo correcto en la parte (2), necesitas $x^2-tx+d$ para tener una raíz doble, lo que ocurre sólo cuando el discriminante $t^2-4d$ es $0$ . Si elige la matriz $A$ (o los valores de $t$ y $d$ ) "al azar" de cualquier manera razonable, entonces $t^2-4d$ normalmente no será $0$ . (Por ejemplo, si elige $A$ de manera uniforme a partir de algún intervalo, entonces $t^2-4d$ será distinto de cero con probabilidad $1$ ya que el conjunto de fuga en $\mathbb{R}^n$ de cualquier polinomio no nulo en $n$ variables tiene la medida de Lebesgue $0$ .) Suponiendo que los estudiantes hicieran algo como escoger $A$ "al azar" y luego construyó $B$ para tener la misma traza y discriminante, esto explicaría por qué ninguno de ellos encontró un ejemplo correcto.

Tenga en cuenta que esto es muy especial para $2\times 2$ matrices. En dimensiones superiores, el determinante y la traza no determinan el polinomio característico (sólo dan dos de los coeficientes), por lo que si se eligen dos matrices con el mismo determinante y traza, normalmente tendrán polinomios característicos diferentes y no serán similares.

Answer 2

Como señala Eric, este tipo de $2\times2$ son especiales. De hecho, sólo hay dos pares de matrices de este tipo. El número depende de cómo se cuente, pero la cuestión es que tales matrices tienen un muy forma especial.

Eric demostró que las dos matrices deben tener un valor propio doble. Sea el valor propio $\lambda$ . Es un pequeño ejercicio 1 para demostrar que $2\times2$ matrices con doble valor propio $\lambda$ son similares a una matriz de la forma $$ C_{\lambda,\mu} = \begin{pmatrix} \lambda&\mu\\ 0&\lambda \end{pmatrix}. $$ El uso de matrices diagonales adecuadas muestra que $C_{\lambda,\mu}$ es similar a $C_{\lambda,1}$ si $\mu\neq0$ . Por otro lado, $C_{\lambda,0}$ y $C_{\lambda,1}$ no son similares; uno es un escalamiento y el otro no.

Por lo tanto, hasta las transformaciones de similitud, el único ejemplo posible es $A=C_{\lambda,0}$ y $B=C_{\lambda,1}$ (o viceversa). Ya que el escalamiento no cambia realmente nada, los únicos ejemplos (hasta la similitud, el escalado y el intercambio de las dos matrices) son $$ A = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1&1\\ 0&1 \end{pmatrix} $$ y $$ A = \begin{pmatrix} 0&0\\ 0&0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}. $$ Si se añade la adición de múltiplos de la identidad a la lista de simetrías (entonces se puede eliminar la escala), entonces sólo hay un par de matrices hasta las simetrías.

Si está familiarizado con el Forma normal de Jordania , da una forma diferente de verlo. Una vez que los valores propios se fijan para ser iguales, la única propiedad libre (hasta la similitud) es si hay uno o dos bloques en la forma normal. La forma normal de Jordan es invariante bajo transformaciones de similitud, por lo que da una forma muy rápida de resolver problemas como éste.

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1 Sólo hay que demostrar que cualquier matriz es similar a una matriz triangular superior. Los valores propios (que ahora coinciden) están en la diagonal. Puedes saltarte este ejercicio si tienes a tu disposición las formas normales de Jordania.

Answer 3

Voy a responder a la pregunta del título -¿Por qué ningún alumno consiguió la respuesta correcta?-, más que a lo que dice tu post, porque aunque vale la pena exponer por qué falló lo que hicieron, pasa completamente por alto la posibilidad de que no se les enseñara a manejar ese problema en primer lugar.

Encontrar ejemplos es una técnica y un arte en sí mismo, y necesita algo de instrucción para ejecutarse de forma fiable en los exámenes (o en cualquier otro lugar). Así que puede que te estés pasando la pelota. Ciertamente, a veces eres un profesor perfecto para un problema y la clase sigue sin entenderlo, porque a veces, por (mala) fortuna, tu clase está llena de estudiantes que tienen dificultades por razones independientes de ti. Pero vale la pena preguntarse si tal vez hay algo en la forma en que se les enseñó que necesita ser trabajado. Parece que no abordas esta posibilidad en tu post, así que aquí tienes un montón de posibilidades sobre las que reflexionar...

La línea básica de pensamiento que idealmente se les debería ocurrir es "caramba, averiguar si dos matrices son similares o no suele ser un proceso bastante complicado. No tengo tiempo para eso. Quizá haya matrices que no sean similares a muchas otras... quizá algunas que sólo sean similares a sí mismas... bueno $PAP^{-1}$ es siempre fácil de calcular si $A$ ...", momento en el que es de esperar que reconozcan que quieren la matriz identidad, o una matriz cero, o más generalmente un múltiplo escalar de la identidad (también conocido como: el centro del anillo matricial).

Por lo general, hay que enseñar a los alumnos los "sospechosos habituales" de los (contra)ejemplos. En la mayoría de los campos de las matemáticas, a la hora de preguntarse si algo es cierto o no, suele haber un determinado objeto o conjunto de objetos que se sabe que a menudo proporcionan (contra)ejemplos, o para los que los cálculos son relativamente sencillos, y la primera prueba de fuego para un teorema propuesto es comprobarlo con los sospechosos habituales para asegurarse de que se sostiene. Al introducir las matrices similares, ¿señalaste específicamente (o les asignaste como trabajo de alguna manera) a qué son similares las matrices identidad y cero? ¿A qué múltiplos escalares de la identidad son similares?

Al hablar de la similitud, ¿has dejado claro que es muy difícil saber "a simple vista" si dos matrices son similares o no? ¿Que matrices "de aspecto muy diferente" pueden resultar ser similares? ¿Que determinar si dos matrices fijas y pequeñas son similares o no puede ser razonable (para un examen), pero que con más matrices (en este caso: literalmente todas las matrices que se les ocurran) y más dimensiones se hace cada vez más difícil simplemente forzar las cosas?

¿Has dado alguna vez en clase ejemplos de matrices no similares (2x2) con traza y determinante idénticos? Es posible que hayan podido memorizar esos ejemplos, y si lo hicieron, es de esperar que mientras lo hacían hayan aprendido algo sobre "por qué" esos ejemplos tienen las propiedades deseadas. Sobre todo si se les ha informado con antelación de que se espera que muestren el trabajo, y no simplemente que escriban las respuestas, para obtener todo el crédito.

Supongo que esta pregunta proviene de un examen o prueba. ¿Es esta pregunta algo que se le ocurrió mucho antes de la fecha del examen/cuestionario? Muchos instructores que conozco consideran que es beneficioso redactar los exámenes (con mucha) antelación a la fecha del examen real, para poder identificar claramente: "Obviamente, quiero que sepan X, así que será mejor que les enseñe a hacer X". Un examen/cuestionario creado demasiado cerca de la fecha del examen corre el riesgo de que les preguntes algo que en realidad nunca les enseñaste a hacer; y, lo que es muy importante se corre el riesgo de que no te des cuenta hasta que sea demasiado tarde. Es fácil pensar: "Sí, saben todo lo que necesitan saber para esto, será un problema fácil" poco después de escribir el problema, pero una o dos semanas más tarde puedes darte cuenta de que estás equivocado. Si has escrito con mucha antelación, puedes ajustar el problema o las conferencias para solucionarlo. Si no lo has hecho, bueno, entonces tienes una parte entera de puntos en tu examen que no tenían ningún sentido y una clase que tiene una impresión equivocada de sus propias habilidades y una insatisfacción con tu capacidad de escribir un examen justo.