Primes asociados de producto del Tensor

Question

Que $R$ ser un noetheriano del anillo y $M$ y $N$ ser finitamente generados $R$ módulo. ¿Sabemos que cualquier fórmulas para $\operatorname{Ass}(M\otimes_R N)$ $\operatorname{Ass}(M)$, $\operatorname{Ass}(N)$ $\operatorname{Supp}(M)$ o $\operatorname{Supp}(N)$?

Hay que recordar que tenemos una fórmula de apoyo, es decir, $\operatorname{Supp}(M\otimes_R N)=\operatorname{Supp}M\cap \operatorname{Supp}N$. También tenemos una fórmula para $\operatorname{Ass}(\operatorname{Hom}(M,N))$.

No he visto ninguna fórmula para culo de productos del tensor, sería bueno que tal fórmula en por lo menos algunos casos especiales.

Answer 1

El siguiente es THM 23.2 en Matsumura, el "Anillo Conmutativo Teoría":

Deje $\phi:A \rightarrow B$ ser un homomorphism de Noetherian anillos, y deje $E$ $A$- módulo de e $G$ $B$- módulo. Supongamos $G$ es plano sobre a $A$; entonces:

(i) Si $\mathfrak{p} \in \text{Spec}(A)$$ G/\mathfrak{p}G \ne 0$, luego, dejando $\phi^a: \text{Spec}(B) \rightarrow \text{Spec}(A)$ ser inducida por el mapa (esto es Matsumura la notación) tenemos $\phi^a(\text{Ass}_B(G/\mathfrak{p}G))=\text{Ass}_A(G/\mathfrak{p}G)=\{\mathfrak{p}$}

(ii) $\text{Ass}_A(E \otimes_A G) = \bigcup_{\mathfrak{p} \in \text{Ass}_A(E)}\text{Ass}_B(G/\mathfrak{p}G)$

Así, este responde a la pregunta en el caso de que $M$ es un plano $R$-módulo; tomar $A=R=B$, $E=N$, y $G=M$, y aplicar (ii).

Así que esto no es muy interesante cuando se $R$ es local, por ejemplo...pero es lo mejor que puedo hacer.