Si $\mathcal{C}$ es una categoría monoidal Krull-Schmidt con un número finito de indecomponibles, entonces esto se traduce en que $r(\mathcal{C})$ es un módulo libre de rango finito sobre $\mathbb{Z}$, por lo que claramente un ejemplo interesante estará en esta forma.
Tomemos el anillo como $\mathbb{Z}[i]$ y observe que si esto surge como $r(\mathcal{C})$ para alguna categoría como la mencionada anteriormente, entonces esta categoría tendrá precisamente dos indecomponibles, y uno de estos debe ser el elemento neutro para el producto tensorial en $\mathcal{C}$, que debe decategorificar a la unidad en el anillo. Sea $X$ el otro indecomponible y suponga que $X$ decategorifica a algún $a + bi$ en $\mathbb{Z}[i]$ (claramente podemos asumir que $b \neq 0$).
Ahora también notamos que en general, la base de $\mathbb{Z}$ de $r(\mathcal{C})$ dada por las decategorificaciones de los indecomponibles será positiva, ya que claramente no hay algo como negativo en la categoría. Pero es un ejercicio básico en álgebra lineal comprobar que $(a+bi)^2 = (-a^2 - b^2)\cdot 1 + 2a\cdot (a + bi)$ por lo que las constantes de estructura nunca serán no negativas sin importar qué elemento intentemos. Por lo tanto, $\mathbb{Z}[i]$ no puede ser el anillo de representación de tal categoría.
La existencia de una base positiva como se mencionó anteriormente es una de las características muy fuertes de la decategorificación, aunque aún hay muchas cosas que pueden suceder para álgebras con base positiva que no corresponden a nada que provenga de la imagen categórica (aunque los ejemplos con los que estoy principalmente familiarizado son aquellos en los que el álgebra es efectivamente la decategorización de algún $2$-categoría pero donde alguna representación del álgebra no puede provenir de una $2$-representación de la $2$-categoría).
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Hmm, creo que $\mathbb{Z}[i]$ es un ejemplo, pero necesito pensar un poco más al respecto (la idea es que cualquier cosa que surja como una decategorificación tendrá una base positiva natural, y no creo que este anillo tenga una).
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La respuesta debe ser bastante sensible a las condiciones exactas que requieres en $C$. Por ejemplo, ¿es abeliano o algo similar? (Si no lo es, ¿qué significa suma directa?) ¿Se distribuye la operación monoidal sobre sumas directas? ¿Y sobre colímites finitos? ¿Es $C$ semisimple? ¿Tiene cada objeto longitud finita? En otra dirección, ¿qué tal utilizar secuencias exactas cortas para definir el grupo de Grothendieck?
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@QiaochuYuan Bueno, el uso de secuencias cortas exactas requeriría que la categoría sea abeliana, e incluso entonces aún podríamos considerar simplemente el grupo de Grothendieck dividido más grande como en la pregunta. Pero definitivamente tienes razón en que lo que califica como ejemplo depende en gran medida de qué tipo de categorías se permiten.
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Sí, debería haber proporcionado más condiciones. Obviamente quiero que $\mathcal{C}$ sea abeliana. También quiero que la operación tensor se distribuya sobre sumas directas. Sería bueno si la categoría fuera Krull-Schmidt también con un número finito de objetos indecomponibles. Si es posible, no quiero que sea una categoría lineal.
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Entonces, obviamente, la categoría de Krull-Schmidt con un número finito de indecomposables limita el tamaño del anillo, por lo que es fácil encontrar ejemplos en este caso a menos que también se pongan condiciones adicionales en el anillo.
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@TobiasKildetoft: ¿Por qué es fácil entonces encontrar ejemplos? ¿Está probado que una decategorificación de ese tipo tendrá una base positiva natural? En caso afirmativo, ¿puedo obtener una referencia?
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Al menos con las condiciones adicionales de ser Krull-Schmidt con un número finito de indecomposables significará que los indecomposables te darán una base positiva. Sin eso, no tengo idea de lo que podría suceder.