Mostrando una función biyectiva

Question

Teniendo en cuenta que $f:\mathbb R\to \mathbb R$ es continua y $\vert x-y\vert \leq \vert f(x)-f(y)\vert$. Tenemos que demostrar que $f$ es biyectiva.

Es fácil demostrar que $f$ es uno uno. ¿Pero cómo demostrar que $f$ en?

Quise usar el teorema del valor intermedio. Para eso si $z\in \mathbb R$, necesito encontrar a $x,y\in \mathbb R$ tal que $f(x)<z<f(y)$. Pero, ¿cómo hacerlo? Cualquier sugerencia será apreciada.

Answer 1

• Si $f: \mathbb{R} \to\mathbb{R}$ es continua e inyectiva , entonces es estrictamente monótona.

• WLOG supongamos $f$ es creciente. A continuación, $$|x| < |f(x)-f(0)| \implies f(0)-f(x)< |x| < f(x)-f(0)$$

• $\displaystyle f(x) > f(0) + |x| \implies \lim_{x \to\infty} f(x) \to\infty$

• $\displaystyle f(x) > f(0) - |x| \implies \lim_{x \to -\infty} f(x) \to -\infty$.

Añadido. A ver que $f:\mathbb{R} \to\mathbb{R}$ es continua e inyectiva implica la monotonía observar que si $f$ no es monótona, entonces usted tiene $x_{1},x_{2},x_{3} \in \mathbb{R}$ $x_{1}<x_{2}<x_{3}$ pero $f(x_{1}) > f(x_{2})$$f(x_{2}) <f(x_{3})$. Ahora pruebe a aplicar el Teorema del Valor Intermedio.

Answer 2

Es bastante fácil si simplemente escoger un valor de la función, decir $f(0)$ y van alrededor de eso.

Dado así, $z \in \mathbb R$, si tomamos $a = |z - f(0)| + 1$ y mirar en $f(a)$ y $f(-a)$.

No es difícil mostrar que $z$ entre $f(a)$y $f(-a)$ da lo que ha deducido ya.