Clase de Comprensión de Clase Morse-Kelley y Paradoja de Russell

Question

Según entiendo, la solución ZFC al paradoxo de Russell, ya que $\{x\mid x\notin x\}$ debe ser $\{x\mid x\notin x\}\cap S$ para algún conjunto $S$, el paradoxo desaparece, pero en Morse-Kelley, aunque nuevamente debe haber algún $M$ tal que $\{x\mid x\notin x\}\cap M$, este $M$ puede ser una clase propia, lo cual ya no es tan limitante como en la versión ZFC, y por lo tanto ya no da la misma solución. Por lo tanto, MK debe manejar el Paradoxo de Russell de manera diferente. ¿Cómo? Agradecería la iluminación. Gracias.

Answer 1

La teoría de conjuntos de Morse-Kelley funciona así: tienes comprensión irrestricta, por lo que para cualquier fórmula $\phi$, se te permite construir $$\{x\mid \phi(x)\}$$ (“el conjunto de todos los $x$ que tienen la propiedad $\phi$”) mientras que en la teoría de conjuntos ZF solo puedes construir $$\{x\in A\mid\phi(x)\}$$ donde $A$ es algún conjunto previamente construido (“el conjunto de todos los $x$ en $A$ que tienen la propiedad $\phi$”).

Pero una vez hecho eso, ¿quiénes son los miembros de la cosa que has construido?

En ZF se tiene que, para cada $y$:

$$y\in \{x\in A \mid \phi(x)\}\\\text{ si y solo si }\\y\in A\text{ y }\phi(y)$$

Pero en la teoría de conjuntos de Morse-Kelley la membresía está restringida de manera diferente: se tiene, para cada $y$: $$y\in \{x\mid \phi(x)\}\\\text{ si y solo si }\\\text{$y$ es un conjunto y }\phi(y)$$

Entonces, la notación $\{x\mid \phi(x)\}$ en la teoría de conjuntos de Morse-Kelley es un poco engañosa: Parece que estás formando la clase de todo con la propiedad $\phi$, pero en realidad solo estás formando la clase de todos los conjuntos con la propiedad $\phi$.

Mientras que en ZF no puedes usar la especificación para construir un conjunto sin tener otro conjunto primero, en Morse-Kelley puedes construirlo, pero luego no puedes probar que cualquier $y$ sea miembro de él a menos que primero demuestres que $y$ es un conjunto. En las memorables palabras de Irving Kaplansky, a los buenos conjuntos se les permite ser miembros de otros conjuntos, pero a los malos conjuntos se les rechaza la membresía. (Kaplansky estaba hablando sobre la teoría de conjuntos de Von Neumann, no de Morse-Kelley, pero son muy similares.) Para probar que $y\in S$, primero debes demostrar que $y$ es un conjunto "bueno", algo que se le permite ser miembro de cosas.

Ahora veamos qué sucede cuando intentamos construir el conjunto de Russell $R$ en la teoría de Morse-Kelley. Queremos $$R \stackrel{\mathrm{def}}= \{x\mid x\notin x\}$$

por lo que tendremos, para cada $y$, que $$y\in R\\ \text{si y solo si}\\ \text{$y$ es un conjunto y $y\notin y$}.$$ Luego tomamos $y=R$ y vemos qué sucede. Tendremos $$R\in R\\ \text{si y solo si}\\ \text{$R$ es un conjunto y $R\notin R$}.$$ No hay contradicción aquí; simplemente hemos demostrado que $R$ no es un conjunto. Por lo tanto, está "rechazado", y $R\notin C$ se cumple para cada clase $C$. En particular, $R\notin R$.

No hay contradicción porque la teoría de Morse-Kelley solo requiere que $R$ contenga los conjuntos con la propiedad de Russell, y $R$, al no ser un conjunto, no cumple con los requisitos.

De manera similar, la teoría de Morse-Kelley tiene una clase de todos los conjuntos, llamada $\mathscr U$, pero no se incluye a sí misma, ya que no es un conjunto en sí.

Si deseas leer más sobre esto en detalle, hay una explicación maravillosamente breve al respecto en el Apéndice de General Topology de Kelley (1955) pp. 250-258.

Answer 2

Según el axioma de regularidad, ninguna clase o conjunto es miembro de sí mismo. Por lo tanto, la clase en cuestión es la clase de todos los conjuntos, comúnmente denotada como V, que también se llama el "universo". Es la clase más grande y una clase propia, es decir, no es un conjunto, por lo que no es candidata para ser miembro de la clase paradójica definida por ese uso de la notación de constructor de conjuntos.