¿Cuál es el inconveniente de esta prueba (entero más grande)?

Question

Deje $n$ ser el mayor entero positivo. Desde $n ≥ 1$, multiplicando ambos lados por $n$ implica que el $n^2 ≥ n$. Pero desde $n$ es el mayor entero positivo, también es cierto que $n^2 ≤ n$. De ello se desprende que $n^2 = n$. Dividiendo ambos lados por $n$ implica que el $n = 1$.

El objetivo es encontrar la falla en el razonamiento de la prueba, en lugar de encontrar una prueba que lo demuestre mal. Aquí es donde creo que el problema es:

Se dijo que $n^2 ≥ n$ después de la multiplicación de ambos lados de la desigualdad por $n$. Pero entonces porque $n$ es el mayor número entero, $n^2 ≤ n$. Aquí es donde creo que la falla es, porque si $n$ es el mayor número entero, entonces obtendríamos $n^2 < n$ en lugar de $n^2 ≤ n$, por lo que escribir la segunda es incorrecta.

Answer 1

De hecho, se han dado una prueba válida de un verdadero teorema.

Teorema. Si $n$ es el mayor entero positivo, entonces $n=1$.

Usted podría iniciar una prueba de este teorema exactamente la manera que usted lo hizo de inicio: "Vamos a $n$ ser el mayor entero positivo." Por lo que su prueba es perfectamente válido. Pero no es prueba de que $1$ es el mayor entero positivo; que sería diferente teorema: existe una mayor entero positivo, y es igual a $1$. Para demostrar que el fortalecimiento del teorema, usted primero tiene que probar la existencia, que por supuesto no se puede hacer.

El teorema de la declaración que hizo probar es un ejemplo de un enunciado matemático que es "vacuously verdadero." Esto significa que es verdad porque su hipótesis es siempre falso. Si se mira la tabla de verdad para la implicación $P\implies Q$, verás que en todos los casos en que $P$ es falso, la implicación es verdadera. Así que resultó un verdadero (pero muy interesante) resultado!

Answer 2

No hay ninguna falla en el argumento. Se ha probado que la declaración de

Si el mayor entero positivo $n$ existe,$n=1$.

Esta declaración es verdad, de hecho lo han demostrado. Tenga en cuenta que también la declaración de

Si el mayor entero positivo $n$ existe, $n=42$

es cierto, porque no hay mayor entero positivo.

Answer 3

Esto parece como una prueba por contradicción, es decir, en el fin de demostrar que no existe ningún entero más grande, hacer la suposición de que no hay uno, y hacer un agujero en ella. Desde la impecable lógica indica que el entero más grande sería de 1, y podemos indicar claramente que es no, usted tiene una contradicción y una prueba de que no existe un único entero más grande.

Answer 4

La falla en la lógica se produce aquí:

Deje $n$ ser el mayor entero positivo.

Y esta declaración debe ser corregida:

Dividir ambos lados por $n$ implica que el $n=1$.

La expresión correcta debería ser:

De ello se desprende que $n^2=n$. Puesto que esto es sólo cierto cuando $n=1$ y no existen números enteros mayores que $1$, n no es el mayor entero positivo.

Usted tiene una prueba de que hay no una mayor entero positivo.

EDITAR:

Esta es la inversa de la Prueba mediante el Descenso infinito - tal vez debería llamarse "la Prueba por Infinito el Ascenso" ya que siempre se puede tener un mayor $n$

Answer 5

Usted ha asumido lo que se quería demostrar: que esto iba a funcionar como una prueba de que no existe ningún entero más grande (suponiendo que no es un llegar a una contradicción).

Respecto a tu respuesta, piensa en esto: si $2>1$ entonces es cierto que $2\ge 1$ (żpor qué?).